( 2 pontos) Resolva o problema do oscilador amortecido sob a influência de uma força:
Considere
e assuma uma solução do tipo
.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula que obedece à equação do oscilador amortecido forçado por uma força externa decrescente:
Nós assumimos a equação de movimento padrão (única interpretação consistente):
onde
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento viscoso e
é a constante elástica.
O enunciado pede resolver o problema usando a representação complexa e assumindo uma solução do tipo
. \n
Informações relevantes dadas:
O enunciado pede resolver o problema usando a representação complexa
Informações relevantes dadas:
assumir solução de mesmo fator temporal complexo com amplitude e fase:
com
.
Não há outros dados numéricos; vamos obter a solução particular (regime forçado) em termos de .
Não há outros dados numéricos; vamos obter a solução particular (regime forçado) em termos de
Passo 2
Por que usar exponenciais complexas? Porque
aparece como parte real de uma exponencial complexa e derivação/combinação linear de exponenciais transforma a EDO em uma álgebra simples. Se tomarmos a solução particular complexa
onde
é um número complexo (contendo amplitude e fase), então a solução real pedida é
Convenientemente escrevemos
para que
ou seja
é a amplitude (positiva) e
é o deslocamento de fase (lag).
Passo 3
Calcule as derivadas da solução complexa
. Derivando term-by-term:
Essas fórmulas vêm da regra da cadeia: derivada de
é
, aplicada duas vezes.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação complexa (a versão complexa da EDO, onde a força também é representada por
):
Podemos cancelar o fator comum
(não é zero), obtendo a equação algébrica para
:
Passo 5
Isolando
obtemos
Vamos expandir
. Primeiro calcule
:
Portanto
Separando partes real e imaginária:
Assim
Passo 6
Encontramos a amplitude
e a fase
a partir de
. Como
é real positivo, o módulo de
é
A fase
vem da relação entre a forma escolhida
e o argumento de
. Como
, temos
. Da nossa convenção
segue que
. Portanto podemos escrever
Observação prática: para obter o ângulo correto em todos os quadrantes use a função
, mas a fórmula acima dá a tangente do ângulo. \n
Finalmente a solução particular real (regime forçado correspondente ao forçamento dado) é
Finalmente a solução particular real (regime forçado correspondente ao forçamento dado) é
com
e
dados pelas fórmulas anteriores.