( 2 pontos) Resolva o problema do oscilador amortecido sob a influência de uma força:
F_{e x t}=F_{0} e^{-\alpha t} \cos (\omega t)
Considere e^{-\alpha t} \cos (\omega t)=\operatorname{Re}\left(e^{-\alpha t+i \omega t}\right) e assuma uma solução do tipo A e^{(-\alpha+i \omega) t-i \varphi}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que obedece à equação do oscilador amortecido forçado por uma força externa decrescente:
F_{\text{ext}}(t)=F_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t).
Nós assumimos a equação de movimento padrão (única interpretação consistente):
m\ddot x + c\dot x + kx = F_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t),
onde m é a massa, c é o coeficiente de amortecimento viscoso e k é a constante elástica.
O enunciado pede resolver o problema usando a representação complexa e^{-\alpha t}\cos(\omega t)=\operatorname{Re}\bigl(e^{(-\alpha+i\omega)t}\bigr) e assumindo uma solução do tipo A e^{(-\alpha+i\omega)t-i\varphi}. \n
Informações relevantes dadas:
F_{\text{ext}}(t)=F_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t),
assumir solução de mesmo fator temporal complexo com amplitude e fase: x_p(t)=\operatorname{Re}\bigl(X e^{(-\alpha+i\omega)t}\bigr) com X=Ae^{-i\varphi}.
Não há outros dados numéricos; vamos obter a solução particular (regime forçado) em termos de m,c,k,F_0,\alpha,\omega.

Passo 2

Por que usar exponenciais complexas? Porque \cos aparece como parte real de uma exponencial complexa e derivação/combinação linear de exponenciais transforma a EDO em uma álgebra simples. Se tomarmos a solução particular complexa
x_p^{(\mathbb{C})}(t)=X e^{(-\alpha+i\omega)t},
onde X é um número complexo (contendo amplitude e fase), então a solução real pedida é
x_p(t)=\operatorname{Re}\bigl(x_p^{(\mathbb{C})}(t)\bigr)=\operatorname{Re}\bigl(X e^{(-\alpha+i\omega)t}\bigr).
Convenientemente escrevemos X=Ae^{-i\varphi} para que
x_p(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\omega t-\varphi),
ou seja A é a amplitude (positiva) e \varphi é o deslocamento de fase (lag).

Passo 3

Calcule as derivadas da solução complexa x_p^{(\mathbb{C})}(t)=X e^{(-\alpha+i\omega)t}. Derivando term-by-term:
\dot x_p^{(\mathbb{C})}(t)=(-\alpha+i\omega)X e^{(-\alpha+i\omega)t},
\ddot x_p^{(\mathbb{C})}(t)=(-\alpha+i\omega)^2 X e^{(-\alpha+i\omega)t}.
Essas fórmulas vêm da regra da cadeia: derivada de e^{\lambda t} é \lambda e^{\lambda t}, aplicada duas vezes.

Passo 4

Substituímos x_p^{(\mathbb{C})}, \dot x_p^{(\mathbb{C})} e \ddot x_p^{(\mathbb{C})} na equação complexa (a versão complexa da EDO, onde a força também é representada por F_{0}e^{(-\alpha+i\omega)t}):
m(-\alpha+i\omega)^2 X e^{(-\alpha+i\omega)t} + c(-\alpha+i\omega) X e^{(-\alpha+i\omega)t} + k X e^{(-\alpha+i\omega)t} = F_{0} e^{(-\alpha+i\omega)t}.
Podemos cancelar o fator comum e^{(-\alpha+i\omega)t} (não é zero), obtendo a equação algébrica para X:
\bigl(m(-\alpha+i\omega)^2 + c(-\alpha+i\omega) + k\bigr) X = F_{0}.

Passo 5

Isolando X obtemos
X=\dfrac{F_{0}}{D}, \qquad\text{onde}\qquad D=m(-\alpha+i\omega)^2 + c(-\alpha+i\omega) + k.
Vamos expandir D. Primeiro calcule (- \alpha + i\omega)^2:
(-\alpha+i\omega)^2 = \alpha^2 - \omega^2 - 2i\alpha\omega.
Portanto
D = m(\alpha^2-\omega^2) - 2im\alpha\omega \;+\; (-c\alpha + i c\omega) \;+\; k.
Separando partes real e imaginária:
\text{Re}(D)=k + m(\alpha^2-\omega^2) - c\alpha,
\text{Im}(D)=\omega\,(c - 2m\alpha).
Assim
D=\bigl(k + m(\alpha^2-\omega^2) - c\alpha\bigr) + i\,\omega\,(c - 2m\alpha).

Passo 6

Encontramos a amplitude A e a fase \varphi a partir de X=\dfrac{F_{0}}{D}. Como F_{0} é real positivo, o módulo de X é
A=|X|=\dfrac{F_{0}}{|D|}=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{\bigl(k + m(\alpha^2-\omega^2) - c\alpha\bigr)^2 + \bigl(\omega(c - 2m\alpha)\bigr)^2}}.
A fase \varphi vem da relação entre a forma escolhida X=Ae^{-i\varphi} e o argumento de X. Como X=F_{0}/D, temos \arg(X)=-\arg(D). Da nossa convenção X=Ae^{-i\varphi} segue que \varphi=\arg(D). Portanto podemos escrever
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\text{Im}(D)}{\text{Re}(D)}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{\omega(c - 2m\alpha)}{k + m(\alpha^2-\omega^2) - c\alpha}\right).
Observação prática: para obter o ângulo correto em todos os quadrantes use a função \operatorname{atan2}(\text{Im}(D),\text{Re}(D)), mas a fórmula acima dá a tangente do ângulo. \n
Finalmente a solução particular real (regime forçado correspondente ao forçamento dado) é
x_p(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\omega t - \varphi),
com A e \varphi dados pelas fórmulas anteriores.

Resposta

x_p(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\omega t-\varphi)\n
A=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{\bigl(k + m(\alpha^2-\omega^2) - c\alpha\bigr)^2 + \bigl(\omega(c - 2m\alpha)\bigr)^2}}\n
\displaystyle \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\omega(c - 2m\alpha)}{k + m(\alpha^2-\omega^2) - c\alpha}\right)

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