(2 pontos) A partir de um potencial eletrostático do tipo V(r)=k / r, calcule da forma mais detalhada possível a secção de choque diferencial de espalhamento para partículas carregadas (espalhamento Rutherford).
Passo 1
O enunciado dá o potencial eletrostático
V(r)=\frac{k}{r}
e pede para calcular, da forma mais detalhada possível, a secção de choque diferencial de espalhamento (espalhamento Rutherford) para partículas carregadas. Vou enumerar o que temos e o que se pede, só isso por enquanto:
Dado: V(r)=k/r. Aqui k é constante que representa a força coulombiana entre as partículas; para cargas elétricas puntiformes k=Z_1Z_2e^2/(4\pi\varepsilon_0).
Quantidades que aparecem naturalmente no problema:
b: parâmetro de impacto (impact parameter) — distância de aproximação se não houvesse interação.
\theta: escore de deflexão (scattering angle) medido no sistema de referência à distância (assintótico).
E: energia cinética relativa da partícula antes do espalhamento (energia à infinidade).
m: massa (ou massa reduzida) da partícula em movimento; a velocidade à infinidade é v_\infty=\sqrt{2E/m}.
Pedido: calcular a secção de choque diferencial \dfrac{d\sigma}{d\Omega} como função de \theta (expressão final em termos de k, E e \theta); depois escrever na forma conveniente para cargas elétricas usando k=Z_1Z_2e^2/(4\pi\varepsilon_0).
Passo 2
Conservação de energia e momento angular — fórmulas úteis e definições.
Aqui \dot r é velocidade radial e \dot\varphi é velocidade angular.
Momento angular (conservado por força central):
L=m r^{2}\dot\varphi.
Velocidade assintótica e momento angular inicial: à distância grande (onde V\to0) a partícula tem velocidade v_\infty=\sqrt{2E/m}. O momento angular em termos do parâmetro de impacto b é
L=m v_\infty b.
Essas duas leis são o alicerce do cálculo do ângulo de espalhamento.
Passo 3
Fórmula de ângulo de espalhamento em termos de integral radial (padrão para forças centrais).
A deflexão total \theta é dada por (padrão da mecânica de partículas no movimento em potencial central)
Com a substituição w=b\Bigl(u+\dfrac{\beta}{b^{2}}\Bigr)/A a integral torna-se do tipo \int dw/\sqrt{1-w^{2}}, que é arco seno/arco cosseno — o resultado final é uma função arco tangente. Após avaliação dos limites (detalhes técnicos de substituição de limites e sinais), obtém-se a fórmula conhecida
\theta=2\arctan\!\left(\frac{\beta}{b}\right).
Relembrando \beta=k/(2E), temos a relação desejada entre b e \theta:
Explicação rápida e intuitiva: um anel de parâmetros de impacto entre b e b+db corresponde a um anel sólido \,d\Omega=2\pi\sin\theta\,d\theta (a simetria azimutal simplifica para a expressão acima por elemento por unidade de ângulo sólido).
A dependência \sin^{-4}(\theta/2) implica que há muito mais espalhamento em pequenos ângulos (divergência quando \theta\to0), característica do campo de longo alcance 1/r.
A teoria clássica prediz perfeitamente a dependência angular observada por Rutherford (histórico famoso), desde que se use energia e ângulo no regime clássico apropriado.