(2 pontos) A partir de um potencial eletrostático do tipo V(r)=k / r, calcule da forma mais detalhada possível a secção de choque diferencial de espalhamento para partículas carregadas (espalhamento Rutherford).

Passo 1

O enunciado dá o potencial eletrostático
V(r)=\frac{k}{r}
e pede para calcular, da forma mais detalhada possível, a secção de choque diferencial de espalhamento (espalhamento Rutherford) para partículas carregadas. Vou enumerar o que temos e o que se pede, só isso por enquanto:
  • Dado: V(r)=k/r. Aqui k é constante que representa a força coulombiana entre as partículas; para cargas elétricas puntiformes k=Z_1Z_2e^2/(4\pi\varepsilon_0).
  • Quantidades que aparecem naturalmente no problema:
    • b: parâmetro de impacto (impact parameter) — distância de aproximação se não houvesse interação.
    • \theta: escore de deflexão (scattering angle) medido no sistema de referência à distância (assintótico).
    • E: energia cinética relativa da partícula antes do espalhamento (energia à infinidade).
    • m: massa (ou massa reduzida) da partícula em movimento; a velocidade à infinidade é v_\infty=\sqrt{2E/m}.
  • Pedido: calcular a secção de choque diferencial \dfrac{d\sigma}{d\Omega} como função de \theta (expressão final em termos de k, E e \theta); depois escrever na forma conveniente para cargas elétricas usando k=Z_1Z_2e^2/(4\pi\varepsilon_0).

Passo 2

Conservação de energia e momento angular — fórmulas úteis e definições.
  • Energia mecânica (conservada):
E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\dot\varphi^{2}+V(r).
Aqui \dot r é velocidade radial e \dot\varphi é velocidade angular.
  • Momento angular (conservado por força central):
L=m r^{2}\dot\varphi.
  • Velocidade assintótica e momento angular inicial: à distância grande (onde V\to0) a partícula tem velocidade v_\infty=\sqrt{2E/m}. O momento angular em termos do parâmetro de impacto b é
L=m v_\infty b.
Essas duas leis são o alicerce do cálculo do ângulo de espalhamento.

Passo 3

Fórmula de ângulo de espalhamento em termos de integral radial (padrão para forças centrais).
A deflexão total \theta é dada por (padrão da mecânica de partículas no movimento em potencial central)
\theta=\pi-2\int_{r_{\min}}^{\infty}\frac{L\,dr}{m r^{2}\sqrt{2\bigl(E-V(r)\bigr)-\dfrac{L^{2}}{m r^{2}}}}.
Explico as partes:
  • A integral calcula o ângulo \varphi entre a direção de chegada e o ponto de maior aproximação r_{\min}; a deflexão total é \pi-2\varphi.
  • Substituindo L=m v_\infty b e dividindo a raiz por m (usar v_\infty^2=2E/m), a integral simplifica para
\theta=\pi-2b\int_{r_{\min}}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{r^{2}}-\dfrac{2V(r)}{m v_\infty^{2}}}}.
Isto é só álgebra e reescrita para tornar explícito o papel de b e de V.

Passo 4

Aplicando V(r)=k/r e mudança de variável u=1/r para avaliar a integral.
  • Com V(r)=k/r e v_\infty^2=2E/m, defina
\beta\equiv\frac{k}{m v_\infty^{2}}=\frac{k}{2E}.
  • Substituindo na integral e fazendo u=1/r (então dr=-du/u^{2}, e quando r vai de r_{\min} a \infty, u vai de u_{\max}=1/r_{\min} a 0), obtemos
\begin{split} \theta &=\pi-2b\int_{r_{\min}}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}\sqrt{1-b^{2}/r^{2}-2\beta/r}} \\\ &=\pi-2b\int_{0}^{u_{\max}}\frac{du}{\sqrt{\,1-2\beta u-b^{2}u^{2}\,}}. \end{split}
  • O integrando tem a forma 1-2\beta u-b^{2}u^{2}, que é um quadrático em u. Faço completar o quadrado:
1-2\beta u-b^{2}u^{2}=A^{2}-b^{2}\Bigl(u+\frac{\beta}{b^{2}}\Bigr)^{2}, \qquad A^{2}\equiv 1+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}.
  • Com a substituição w=b\Bigl(u+\dfrac{\beta}{b^{2}}\Bigr)/A a integral torna-se do tipo \int dw/\sqrt{1-w^{2}}, que é arco seno/arco cosseno — o resultado final é uma função arco tangente. Após avaliação dos limites (detalhes técnicos de substituição de limites e sinais), obtém-se a fórmula conhecida
\theta=2\arctan\!\left(\frac{\beta}{b}\right).
  • Relembrando \beta=k/(2E), temos a relação desejada entre b e \theta:
\boxed{\,\theta=2\arctan\!\left(\dfrac{k}{2E b}\right)\, }.
(Se preferir, essa relação pode ser invertida, como veremos no passo seguinte.)

Passo 5

Inversão da relação para obter b(\theta) — usamos isso para a secção de choque.
Da relação \theta=2\arctan\!\bigl(k/(2E b)\bigr) segue
\frac{\theta}{2}=\arctan\!\left(\frac{k}{2E b}\right) \quad\Rightarrow\quad \tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{k}{2E b}.
Invertendo,
\boxed{\,b(\theta)=\frac{k}{2E}\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\, }.
Este é um resultado central: o parâmetro de impacto está diretamente relacionado ao ângulo de espalhamento e decai como \cot(\theta/2).

Passo 6

Fórmula da secção de choque diferencial em termos de b(\theta).
  • Conceito: para espalhamento axialmente simétrico, a secção de choque diferencial (por unidade de ângulo sólido) é dada por
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right|.
Explicação rápida e intuitiva: um anel de parâmetros de impacto entre b e b+db corresponde a um anel sólido \,d\Omega=2\pi\sin\theta\,d\theta (a simetria azimutal simplifica para a expressão acima por elemento por unidade de ângulo sólido).
  • Substituir b(\theta)=\dfrac{k}{2E}\cot(\theta/2). Calculamos db/d\theta:
\frac{db}{d\theta}=\frac{k}{2E}\cdot\frac{d}{d\theta}\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =\frac{k}{2E}\cdot\left(-\frac{1}{2}\csc^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) =-\frac{k}{4E}\csc^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Tomando o valor absoluto,
\left|\frac{db}{d\theta}\right|=\frac{k}{4E}\csc^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
  • Agora plugue em \dfrac{d\sigma}{d\Omega}:
\begin{split} \frac{d\sigma}{d\Omega} &=\frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right| =\frac{\dfrac{k}{2E}\cot\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin\theta}\cdot\frac{k}{4E}\csc^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\\[6pt] &=\frac{k^{2}}{8E^{2}}\cdot\frac{\cot\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\csc^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin\theta}. \end{split}
  • Simplifique usando identidades trigonométricas:
\sin\theta=2\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad \cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}, \qquad \csc\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1}{\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}.
Substituindo e simplificando cuidadosamente obtém-se
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{k^{2}}{16E^{2}}\cdot\frac{1}{\sin^{4}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}.
Este é o resultado matemático final em termos de k, E e \theta.]

Passo 7

Escrevendo o resultado na forma usual para cargas elétricas e comentário físico.
  • Para partículas carregadas pontuais (coulombiano) a constante k é
k=\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}},
onde Z_{1} e Z_{2} são os números de carga (números atômicos ou cargas em unidades de e) e e é a carga elementar.
  • Substituindo em \dfrac{d\sigma}{d\Omega}=\dfrac{k^{2}}{16E^{2}}\dfrac{1}{\sin^{4}(\theta/2)} obtemos a forma habitual do espalhamento Rutherford:
\boxed{\,\dfrac{d\sigma}{d\Omega}=\dfrac{1}{16E^{2}}\left(\dfrac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{\!2}\dfrac{1}{\sin^{4}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}\, }.
  • Observações físicas rápidas e motivadoras:
    • A dependência \sin^{-4}(\theta/2) implica que há muito mais espalhamento em pequenos ângulos (divergência quando \theta\to0), característica do campo de longo alcance 1/r.
    • A teoria clássica prediz perfeitamente a dependência angular observada por Rutherford (histórico famoso), desde que se use energia e ângulo no regime clássico apropriado.

Resposta

\displaystyle \frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{k^{2}}{16E^{2}}\cdot\frac{1}{\sin^{4}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}
\displaystyle \frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{16E^{2}}\left(\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{\!2}\frac{1}{\sin^{4}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}

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