( 2,5 pontos) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Se a pedra é lançada com v_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e considerando a aceleração da gravidade no local do lançamento igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e desprezando o atrito da pedra com o ar, qual a altura que a pedra atingiu? E quanto tempo ela ficou no ar?
\begin{aligned} & x=x_{0}+v_{0} t+1.2 a t^{2}, \\ & v=v_{0}+\text { at }, \\ & \sin \theta=\frac{\text { cateto oposto }}{\text { hipotenusa }}, \\ & \cos \theta=\frac{\text { cateto adjacente }}{\text { hipotenusa }} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas (peguei todos os dados do enunciado):
  • Velocidade inicial: v_{0}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Despreza-se o atrito com o ar.
  • A pedra é lançada verticalmente para cima (então o movimento é unidimensional, só na direção vertical).
O enunciado pergunta:
  1. Qual a altura máxima que a pedra atinge?
  2. Quanto tempo ela ficou no ar (tempo total desde o lançamento até voltar ao ponto de partida)?

Passo 2

Escolher convenções e lembrar as fórmulas que vamos usar (isso é importante para não confundir sinais):
  • Vamos tomar o eixo x positivo para cima e colocar a posição inicial como x_{0}=0 (isso simplifica as contas).
  • Como escolhemos para cima positivo, a aceleração devido à gravidade é para baixo, portanto a aceleração no movimento é a=-g=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Variáveis e seus significados:
    • x(t): posição vertical no tempo t.
    • v(t): velocidade vertical no tempo t.
    • v_{0}: velocidade inicial (em t=0).
    • a: aceleração (constante, aqui a=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Fórmulas de cinemática para movimento com aceleração constante (estas são as que o enunciado indicou, corrigindo um pequeno detalhe na primeira fórmula: deve ser \tfrac{1}{2}at^{2}, não 1.2): x = x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2},
v = v_{0} + a t,
v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0}).
  • Para encontrar a altura máxima é conveniente usar a condição da velocidade no topo: v=0.
  • Para o tempo total de voo podemos usar simetria (tempo de subida igual ao tempo de descida) ou resolver a equação de posição com x=0 novamente.

Passo 3

Calcular o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima (tempo de subida), usando v = v_{0} + a t e a condição v=0 no ponto mais alto:
0 = v_{0} + a t_{\text{subida}}.
Isolando t_{\text{subida}}:
t_{\text{subida}} = -\frac{v_{0}}{a}.
Aqui v_{0}=10\\ \mathrm{m/s} e a=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Note que o sinal de a é negativo, então o resultado será positivo (tempo não pode ser negativo).

Passo 4

Substituir os números e calcular t_{\text{subida}}:
t_{\text{subida}} = -\frac{10}{-10} = 1\\ \mathrm{s}.
Portanto a pedra leva 1{,}0\\ \mathrm{s} para chegar ao ponto mais alto.

Passo 5

Calcular a altura máxima usando a equação da posição \,x = x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}\, com x_{0}=0 e t=t_{\text{subida}}=1\\ \mathrm{s}:
h_{\max} = 0 + 10\cdot 1 + \tfrac{1}{2}(-10)\cdot 1^{2}.
Fazendo as contas:
h_{\max} = 10 + \tfrac{1}{2}(-10)\cdot 1 = 10 -5 = 5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(Verificação alternativa — método que dá o mesmo resultado sem usar o tempo) Usando v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0}) com v=0 no topo:
0 = v_{0}^{2} + 2 a (h_{\max}-0).
Isolando h_{\max}:
h_{\max} = -\frac{v_{0}^{2}}{2a}.
Como a=-10\\ \mathrm{m/s^{2}},
h_{\max} = -\frac{10^{2}}{2(-10)} = \frac{100}{20} = 5\\ \mathrm{m},
confirmando o valor anterior.

Passo 7

Calcular o tempo total de voo. Pela simetria do movimento vertical sem resistência do ar, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então
t_{\text{total}} = 2\,t_{\text{subida}} = 2\cdot 1 = 2\\ \mathrm{s}.
(Fonte alternativa: resolver x(t)=0 para encontrar o instante em que retorna ao mesmo ponto: 0 = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2} dá soluções t=0 e t=-\dfrac{2v_{0}}{a}=2\\ \mathrm{s}.)

Passo 8

Resumo rápido de dicas para a prova (curto e prático):
  • Sempre escolha a convenção de sinais antes de começar (aqui cima positivo, então a=-g).
  • Para altura máxima: usar v=0 ou a fórmula v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x.
  • Para tempo total: dobrar o tempo de subida ou resolver a equação da posição para x de chegada.
  • Verifique unidades (m/s, m/s^2, s) e sinais (importante para o termo de aceleração).

Resposta

h_{\max}=5\\ \mathrm{m}
t_{\text{total}}=2\\ \mathrm{s}

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