( 2,5 pontos) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Se a pedra é lançada com
e considerando a aceleração da gravidade no local do lançamento igual a
e desprezando o atrito da pedra com o ar, qual a altura que a pedra atingiu? E quanto tempo ela ficou no ar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas (peguei todos os dados do enunciado):
- Velocidade inicial:
. - Aceleração da gravidade:
. - Despreza-se o atrito com o ar.
- A pedra é lançada verticalmente para cima (então o movimento é unidimensional, só na direção vertical).
O enunciado pergunta:
- Qual a altura máxima que a pedra atinge?
- Quanto tempo ela ficou no ar (tempo total desde o lançamento até voltar ao ponto de partida)?
Passo 2
Escolher convenções e lembrar as fórmulas que vamos usar (isso é importante para não confundir sinais):
- Vamos tomar o eixo
positivo para cima e colocar a posição inicial como (isso simplifica as contas). - Como escolhemos para cima positivo, a aceleração devido à gravidade é para baixo, portanto a aceleração no movimento é
. - Variáveis e seus significados:
-
: posição vertical no tempo . -
: velocidade vertical no tempo . -
: velocidade inicial (em ). -
: aceleração (constante, aqui ).
-
- Fórmulas de cinemática para movimento com aceleração constante (estas são as que o enunciado indicou, corrigindo um pequeno detalhe na primeira fórmula: deve ser
, não ):
- Para encontrar a altura máxima é conveniente usar a condição da velocidade no topo:
. - Para o tempo total de voo podemos usar simetria (tempo de subida igual ao tempo de descida) ou resolver a equação de posição com
novamente.
Passo 3
Calcular o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima (tempo de subida), usando
e a condição
no ponto mais alto:
Isolando
:
Aqui
e
. Note que o sinal de
é negativo, então o resultado será positivo (tempo não pode ser negativo).
Passo 4
Substituir os números e calcular
:
Portanto a pedra leva
para chegar ao ponto mais alto.
Passo 5
Calcular a altura máxima usando a equação da posição
com
e
:
Fazendo as contas:
Passo 6
(Verificação alternativa — método que dá o mesmo resultado sem usar o tempo) Usando
com
no topo:
Isolando
:
Como
,
confirmando o valor anterior.
Passo 7
Calcular o tempo total de voo. Pela simetria do movimento vertical sem resistência do ar, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então
(Fonte alternativa: resolver
para encontrar o instante em que retorna ao mesmo ponto:
dá soluções
e
.)
Passo 8
Resumo rápido de dicas para a prova (curto e prático):
- Sempre escolha a convenção de sinais antes de começar (aqui cima positivo, então
). - Para altura máxima: usar
ou a fórmula . - Para tempo total: dobrar o tempo de subida ou resolver a equação da posição para
de chegada. - Verifique unidades (m/s, m/s^2, s) e sinais (importante para o termo de aceleração).