No verão, é possível que ocorra chuva e sol ao mesmo tempo. Nessa situação observamos as faixas coloridas na atmosfera conhecidas como arco-iris. Justifique esse fenômeno com base no efeito da dispersão e da reflexão total.

Passo 1

O enunciado pede que se justifique o aparecimento do arco-íris quando chove e faz sol, usando como base os efeitos da dispersão e da reflexão total.
Informações relevantes (implícitas no enunciado):
  • A luz solar é branca, ou seja, é uma mistura de várias cores (vários comprimentos de onda \lambda).
  • Há gotículas de água na atmosfera que interagem com os raios solares.
  • Deve-se relacionar dispersão (dependência do índice de refração com \lambda) e reflexão total (ou reflexão interna) às observações do arco-íris.

Passo 2

Explicando dispersão de forma clara e simples.
  • Quando um raio de luz passa de um meio para outro (por exemplo, do ar para a água) ele muda de direção: esse é o efeito da refração. A lei que governa isso é a Lei de Snell:
n_1\sin i = n_2\sin r,
onde n_1 é o índice de refração do primeiro meio (ar), n_2 é o índice do segundo (água), i é o ângulo de incidência (no ar) e r é o ângulo de refração (na água).
  • Dispersão significa que o índice n_2 depende do comprimento de onda \lambda: n_2=n_2(\lambda). Em água temos, de forma típica,
n_{\text{violeta}}>n_{\text{vermelho}}.
Isso significa que, para o mesmo ângulo de incidência i, o ângulo de refração r é diferente para cada cor: as cores de menor \lambda (violeta) são refratadas (dobram) mais do que as de maior \lambda (vermelho).
  • Conclusão didática: ao entrar numa gota, a luz branca se separa em cores porque cada cor “vê” um índice diferente e por isso é refratada por um ângulo diferente.

Passo 3

Trajetória da luz numa gota e papel da reflexão interna.
  • Um raio solar que atinge uma gota sofre três eventos principais (para o arco-íris primário): (1) refração ao entrar, (2) reflexão na face interna traseira da gota, (3) refração ao sair da gota. Essas três etapas combinadas determinam a direção final do raio emergente.
  • Para um dado ponto do Sol (raios praticamente paralelos), diferentes raios que entram em pontos distintos da gota saem em direções diferentes. A direção final depende dos ângulos i e r e, pelo que dissemos, do índice n(\lambda).
  • Uma forma útil de quantificar a deflexão total do raio é definir o ângulo de desvio D (diferença entre a direção de entrada e a direção de saída). Para uma reflexão interna simples em esfera admite-se a expressão (em radianos)
D = \pi + 2i - 4r,
com i e r ligados por Snell. O ponto importante: D depende de i e de n(\lambda).
  • Há um valor de i para o qual D é mínimo (condição de desvio mínimo). Próximo desse i muitos raios emergem com praticamente o mesmo desvio D_{\min}; isso concentra luz numa direção bem definida visto pelo observador. Esse efeito de concentração faz a borda do arco ser brilhante. Em água o desvio mínimo corresponde, para o arco-íris primário, a uma direção que dá um ângulo aproximado de \approx 42^\circ entre o raio solar incidente (na direção do Sol) e a luz observada vindo da gota (esse ângulo varia ligeiramente com a cor).

Passo 4

Como a dispersão produz as cores no arco-íris.
  • Como n depende de \lambda, o valor de D_{\min} também depende de \lambda. Para a água isso dá, aproximadamente, para o arco primário:
D_{\min,\text{vermelho}}\approx 138^\circ \quad\Rightarrow\quad \text{ângulo do arco (vermelho)}\approx 42^\circ,â
D_{\min,\text{violeta}}\approx 140^\circ \quad\Rightarrow\quad \text{ângulo do arco (violeta)}\approx 40^\circ.â
  • Resultado físico direto: os raios vermelhos emergem num ângulo um pouco maior em relação à direção anti-solar do que os violeta. Vendo-se do solo, isso produz o anel colorido com vermelho por fora e violeta por dentro. (Isso é a dispersão em ação: separação angular das cores.)

Passo 5

Papel da reflexão total (e da reflexão interna) — explicação didática e nuance física.
  • Definição rápida: se um raio está indo de um meio com índice n_1 para outro com índice menor n_2 (por exemplo, de água para ar) e o ângulo interno de incidência \theta excede o ângulo crítico \theta_c, então não há transmissão para fora: ocorre reflexão total interna. A condição é
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}.
No caso água→ar temos n_1\approx 1{,}333,\; n_2\approx 1, logo \theta_c satisfaz \sin\theta_c=1/1{,}333 e dá \theta_c\approx 48{,}6^\circ.
  • Na gota, a “reflexão interna” na face traseira pode ocorrer de duas maneiras: (i) reflexão parcial (quando \theta<\theta_c), parte da energia é refletida e parte transmitida, ou (ii) reflexão total interna (quando \theta>\theta_c), toda a energia é refletida para dentro.
  • Importância para o arco-íris: a existência de uma forte reflexão interna (às vezes muito intensa porque está perto de, ou acima de, \theta_c) faz com que uma fração apreciável da luz que entrou na gota seja enviada de volta em direção ao observador com o desvio apropriado. Em termos práticos, para os raios que geram o arco-íris primário a geometria faz com que a reflexão interna seja eficiente (muitas vezes com alto coeficiente de reflexão), o que aumenta a intensidade do arco.
  • Observação honesta e útil: a explicação clássica do arco-íris usa a reflexão interna (que pode ser parcial ou quase total para certos ângulos) combinada com refrações na entrada/saída; não é necessário que todas as gotas produzam reflexão totalmente interna para existir o arco — basta que haja reflexão interna forte e que a dispersão separe as cores. Em alguns raios próximos ao brilho máximo a condição de ângulo faz a reflexão ser muito eficiente, e isso ajuda a formar o arco bem definido.

Passo 6

Conclusão unindo dispersão e reflexão total (em linguagem de prova, passo a passo que pode ser repetido na hora):
  1. A luz branca do Sol é composta por muitas cores com comprimentos de onda \lambda diferentes.
  2. Ao entrar numa gota de água cada cor é refratada segundo a Lei de Snell n_1\sin i=n_2(\lambda)\sin r; como n_2 depende de \lambda, cada cor refrata por um ângulo diferente (dispersão).
  3. A luz refratada atinge a face interna da gota e é refletida de volta para dentro; se o ângulo interno for maior que \theta_c ocorre reflexão total interna ( \sin\theta_c=n_2/n_1), o que devolve eficientemente a luz para dentro da gota.
  4. Ao sair, há nova refração e as cores emergem em ângulos ligeiramente diferentes em relação à direção do Sol; por causa da geometria e da existência de um desvio mínimo, muitas gotas enviam luz da mesma cor numa direção bem definida, formando o arco.
  5. O efeito conjunto explica o raio de cerca de \approx 42^\circ para o vermelho (menor desvio para o vermelho é maior ângulo visto pelo observador) e \approx 40^\circ para o violeta, daí a ordem das cores observada.
Força final e dica de prova: cite Snell para explicar a dispersão, escreva a fórmula do ângulo crítico para justificar quando a reflexão interna é total, e diga que a combinação dessas duas coisas mais a geometria esférica das gotas leva à concentração angular que vemos como arco-íris.

Resposta

A luz branca do Sol é separada nas cores componentes ao entrar nas gotas porque o índice de refração da água depende do comprimento de onda ( n_{\text{violeta}}>n_{\text{vermelho}}), segundo a Lei de Snell n_1\sin i=n_2(\lambda)\sin r (dispersão). Cada cor sofre refrações distintas, uma reflexão interna na face traseira da gota (que pode ser muito eficiente e mesmo total se o ângulo interno exceder o ângulo crítico \sin\theta_c=\dfrac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}á) e nova refração ao sair; a combinação dessas etapas faz com que as cores emergam concentradas em ângulos diferentes (cerca de 42^\circ para o vermelho e 40^\circ para o violeta), produzindo o arco colorido que chamamos de arco‑íris.

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