Em dias quentes, as pessoas têm a impressão de ver poças de água no asfalto de uma estrada. Esse fenômeno é conhecido como Miragem. Justifique esse fenômeno com base na lei de Snell.
Passo 1
O enunciado pede que se justifique o fenômeno da miragem (a impressão de poças de água no asfalto em dias quentes) usando a lei de Snell. Informações relevantes que o enunciado dá ou que são necessárias e que assumimos aqui (sem perguntar nada):
- Em dias quentes a camada de ar imediatamente acima do asfalto fica mais quente do que o ar acima dela.
- O índice de refração do ar depende da sua densidade e, portanto, da temperatura (ar mais quente tem menor densidade e, portanto, índice de refração menor).
- Queremos explicar por que um observador vê, à distância, uma imagem do céu parecendo vir do chão (isto é, como se houvesse água refletindo o céu).
Passo 2
Lembra da lei de Snell em sua forma simples para uma única interface plana entre dois meios homogêneos: ela diz que
onde:
-
e são os índices de refração dos dois meios, -
é o ângulo que o raio incidente faz com a normal à interface no meio 1, -
é o ângulo que o raio refratado faz com a normal no meio 2.
Explicação curta do que isso significa: quando um raio de luz passa de um meio para outro com índice diferente, a componente transversal do vetor direção muda de modo que o produto
se mantém igual. Se o índice diminui ao passar para o segundo meio, o seno do ângulo aumenta e o raio se aproxima mais da superfície (ou seja, “se curva” no sentido de ficar mais paralelo à superfície).
Passo 3
Agora modelamos a coluna de ar acima da estrada não como dois meios, mas como muitas camadas finas empilhadas, cada uma com índice de refração ligeiramente diferente porque a temperatura (e a densidade) varia com a altura. Aplicando a lei de Snell entre duas camadas adjacentes: se a altura é
e o índice local é
, para um raio que atravessa a camada temos, entre
e
,
Fazendo
(passando para o modelo contínuo) obtemos a quantidade conservada ao longo do raio:
Isto é uma forma diferencial/contínua do que a lei de Snell diz para muitas interfaces: existe um “invariante de Snell”
.
Passo 4
Agora relacionamos índice de refração com temperatura. Para o ar (gás ideal) o índice de refração pode ser aproximado por
onde
é a densidade do ar e
é uma constante pequena. Pela equação dos gases ideais, para pressão aproximadamente constante na camada próxima ao solo,
. Logo, quando a temperatura aumenta (ar junto ao asfalto muito quente), a densidade
diminui e, consequentemente,
Passo 5
Juntando os passos anteriores: perto do asfalto o ar está mais quente, logo
é menor em alturas menores. Pelo invariante
constante, se
diminui ao aproximar-se do chão então
tem de aumentar para manter o produto constante. Aumentar
significa que o ângulo
em relação à normal aumenta — geometricamente, o raio fica mais inclinado, isto é, curva-se de modo a ficar mais paralelo ao chão (afasta-se da normal). Em termos mais “visuais”: raios de luz que vêm de regiões claras do céu, ao atravessarem o gradiente de índice (do ar frio para o ar quente junto ao chão), são curvados para cima antes de atingir o observador distante.
Consequência geométrica e percepção: um raio que originalmente vinha do céu e, sem o gradiente, não atingiria o olho do observador, ao ser refratado pelo gradiente pode ser desviado de tal forma que alcança o olho. O observador, que pressupõe que a luz viajou em linha reta, traça o raio de volta e vê a origem aparente do raio situada abaixo do verdadeiro caminho — tipicamente sobre a superfície da estrada. Como essa origem aparente é o céu (ou objetos acima do horizonte), o observador interpreta a imagem como se fosse uma reflexão da cena no chão — exatamente a aparência de uma poça de água refletindo o céu.
Passo 6
(Complemento sobre reflexão total, não obrigatório, mas útil.) Se o gradiente for suficientemente forte, em camadas discretas isso pode ser aproximado por uma interface com
muito menor abaixo; então pode ocorrer reflexão interna total quando a condição
é satisfeita, reforçando o redirecionamento da luz e tornando a imagem mais nítida. Na prática, a miragem típica na estrada (miragem inferior) é explicada principalmente pelo curvamento contínuo dos raios causado pelo gradiente de índice.
Passo 7
Resumo final, em linguagem simples e de prova: o ar mais quente perto do asfalto tem índice de refração menor; aplicando Snell em muitas camadas consecutivas obtemos
constante; portanto, ao descer para camadas de menor
os raios são desviados de modo a ficar mais paralelos ao chão e chegam ao observador parecendo provir do solo. O cérebro interpreta isso como uma imagem refletida do céu no asfalto — a miragem.
Resposta
A miragem ocorre porque o ar junto ao asfalto está mais quente e tem índice de refração menor; num meio com índice variando com a altura vale
constante (forma contínua da lei de Snell), o que faz os raios vindos do céu curvarem-se ao atravessar o gradiente e chegar ao observador como se viessem do chão, produzindo a ilusão de poças de água.