2- (2,5 pontos) Uma piscina em forma de cilindro tem diâmetro de 6 m e altura de
. Deseja-se esvaziar esta piscina destampando um tubo horizontal com 5 cm de diâmetro interno e 10 m de comprimento, que está conectado na parede lateral da piscina, adjacente ao fundo. Considere que a massa específica da água é
. Pede-se:
(a) Determine a vazão mássica de água através do tubo horizontal. Explique porque a vazão mássica real será menor.
(b) Quanto tempo demorará para que a piscina seja esvaziada?
(a) Determine a vazão mássica de água através do tubo horizontal. Explique porque a vazão mássica real será menor.
(b) Quanto tempo demorará para que a piscina seja esvaziada?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
- Piscina em forma de cilindro com diâmetro
e altura . - Tubo horizontal ligado à parede lateral, adjacente ao fundo, com diâmetro interno
e comprimento . (Convertendo: , ). - Massa específica da água
.
Perguntas:
(a) Determine a vazão mássica de água através do tubo horizontal e explique por que a vazão mássica real será menor.
(b) Quanto tempo demorará para que a piscina seja esvaziada?
Passo 2
Ideia física básica (explicação didática): a água sai porque a superfície livre tem uma pressão maior que a pressão na saída (atmosfera) devido à coluna de água; usando Bernoulli e assumindo escoamento ideal sem perdas, a velocidade de saída é dada pela fórmula de Torricelli. Vou explicar essa fórmula e cada símbolo. A versão usada é
onde
é a velocidade do fluido na seção do tubo (m/s),
é a gravidade (
) e
é a altura entre a superfície livre da piscina e o eixo do orifício de saída (m). Aqui, como o tubo está “adjacente ao fundo”, assumimos que a saída fica praticamente ao nível do fundo, então a altura inicial é
. Essa fórmula vem de aplicar Bernoulli entre a superfície livre (velocidade desprezível) e a saída (pressão atmosférica em ambos os pontos): energia potencial por unidade de massa
transforma-se em energia cinética
.
Calculemos a área da seção do tubo
(m²):
Agora a velocidade inicial:
A vazão volumétrica inicial
é
A vazão mássica
(o que a questão pede em (a)) é
Para arredondar de forma agradável:
.
Passo 3
Explicação (didática) por que a vazão mássica real será menor: a dedução acima usa um escoamento ideal (sem atrito, sem perdas localizadas e sem contração). Na prática temos pelo menos estes efeitos que reduzem a vazão:
- Perdas por atrito ao longo do tubo: a água em contato com a parede perde energia; isso aparece como uma perda de carga
que retira parte do head disponível. Uma expressão comum é a fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito (depende do número de Reynolds e da rugosidade),
comprimento do tubo e
o diâmetro. Essa perda faz a velocidade real ser menor porque a energia
é consumida em parte por
.
- Perdas localizadas (entrada, saída, contracção/expansão) e possível vena contracta na saída: cada uma adiciona uma perda extra
. - Efeito viscoso e regime turbulento: o escoamento aqui é turbulento (vamos checar o Reynolds inicial), e o atrito turbulento aumenta as perdas. Cálculo rápido do Reynolds inicial:
portanto turbulento e com perdas relevantes.
Em resumo: a fórmula de Torricelli dá uma vazão teórica máxima; na realidade as perdas por atrito e contracção reduzem a velocidade e, portanto, a vazão mássica real será menor do que .
Em resumo: a fórmula de Torricelli dá uma vazão teórica máxima; na realidade as perdas por atrito e contracção reduzem a velocidade e, portanto, a vazão mássica real será menor do que
Passo 4
Tempo para esvaziar a piscina (modelo teórico sem perdas): agora vamos calcular o tempo de esvaziamento supondo o modelo ideal (novamente sem perdas). Precisamos montar a equação diferencial que descreve a variação da altura
da água. A área da seção transversal da piscina
é
O volume da piscina é
. A taxa de variação do volume é a vazão volumétrica para fora (com sinal negativo):
Como
, temos
Isolando
:
Isto é uma equação separável; separamos e integramos de
até
:
Calcule as integrais:
. Então
O lado esquerdo vale
. Cancelando sinais,
Observação útil: ao substituir as áreas com
muitas vezes o
cancela; aqui dá simplificação. Agora fazemos os cálculos numéricos com os valores já obtidos.
Passo 5
Cálculo numérico do tempo: vamos usar as formas já calculadas:
substituindo em
:
Cancelando
:
Agora os valores numéricos:
e
. Então
Convertendo para horas/minutos/segundos:
Resposta
(a)
. A vazão mássica real será menor devido a perdas por atrito ao longo dos
do tubo, perdas localizadas (entrada/saída, contração), e efeitos viscosos/turbulência que consomem parte do head disponível.
(b) .
(b)