2- (2,5 pontos) Uma piscina em forma de cilindro tem diâmetro de 6 m e altura de 1,5 \mathrm{~m}. Deseja-se esvaziar esta piscina destampando um tubo horizontal com 5 cm de diâmetro interno e 10 m de comprimento, que está conectado na parede lateral da piscina, adjacente ao fundo. Considere que a massa específica da água é 1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Pede-se:
(a) Determine a vazão mássica de água através do tubo horizontal. Explique porque a vazão mássica real será menor.
(b) Quanto tempo demorará para que a piscina seja esvaziada?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
  • Piscina em forma de cilindro com diâmetro 6\\ \mathrm{m} e altura 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Tubo horizontal ligado à parede lateral, adjacente ao fundo, com diâmetro interno 5\\ \mathrm{cm} e comprimento 10\\ \mathrm{m}. (Convertendo: d_{\text{tubo}}=0{,}05\\ \mathrm{m}, L=10\\ \mathrm{m}).
  • Massa específica da água \rho=1.000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    Perguntas:
    (a) Determine a vazão mássica de água através do tubo horizontal e explique por que a vazão mássica real será menor.
    (b) Quanto tempo demorará para que a piscina seja esvaziada?

Passo 2

Ideia física básica (explicação didática): a água sai porque a superfície livre tem uma pressão maior que a pressão na saída (atmosfera) devido à coluna de água; usando Bernoulli e assumindo escoamento ideal sem perdas, a velocidade de saída é dada pela fórmula de Torricelli. Vou explicar essa fórmula e cada símbolo. A versão usada é
v=\sqrt{2 g h},
onde v é a velocidade do fluido na seção do tubo (m/s), g é a gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é a altura entre a superfície livre da piscina e o eixo do orifício de saída (m). Aqui, como o tubo está “adjacente ao fundo”, assumimos que a saída fica praticamente ao nível do fundo, então a altura inicial é h_{0}=1{,}5\\ \mathrm{m}. Essa fórmula vem de aplicar Bernoulli entre a superfície livre (velocidade desprezível) e a saída (pressão atmosférica em ambos os pontos): energia potencial por unidade de massa g h transforma-se em energia cinética \tfrac{1}{2}v^{2}.
Calculemos a área da seção do tubo a (m²):
a=\frac{\pi d_{\text{tubo}}^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}05)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}000625 \approx 0{,}001963495\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a velocidade inicial:
v=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 1{,}5}=\sqrt{29{,}43}\approx 5{,}424\\ \mathrm{m/s}.
A vazão volumétrica inicial Q é
Q=a\,v\approx 0{,}001963495\cdot 5{,}424\approx 0{,}010643\\ \mathrm{m^{3}/s}.
A vazão mássica \dot{m} (o que a questão pede em (a)) é
\dot{m}=\rho Q \approx 1000\cdot 0{,}010643\approx 10{,}643\\ \mathrm{kg/s}.
Para arredondar de forma agradável: \dot{m}\approx 10{,}64\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Explicação (didática) por que a vazão mássica real será menor: a dedução acima usa um escoamento ideal (sem atrito, sem perdas localizadas e sem contração). Na prática temos pelo menos estes efeitos que reduzem a vazão:
  • Perdas por atrito ao longo do tubo: a água em contato com a parede perde energia; isso aparece como uma perda de carga h_f que retira parte do head disponível. Uma expressão comum é a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito (depende do número de Reynolds e da rugosidade), L comprimento do tubo e D o diâmetro. Essa perda faz a velocidade real ser menor porque a energia g h é consumida em parte por h_{f}.
  • Perdas localizadas (entrada, saída, contracção/expansão) e possível vena contracta na saída: cada uma adiciona uma perda extra h_{\text{local}}.
  • Efeito viscoso e regime turbulento: o escoamento aqui é turbulento (vamos checar o Reynolds inicial), e o atrito turbulento aumenta as perdas. Cálculo rápido do Reynolds inicial:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}\approx\frac{5{,}424\cdot 0{,}05}{1{,}0\times 10^{-6}}\approx 2{,}7\times 10^{5},
portanto turbulento e com perdas relevantes.
Em resumo: a fórmula de Torricelli dá uma vazão teórica máxima; na realidade as perdas por atrito e contracção reduzem a velocidade e, portanto, a vazão mássica real será menor do que \approx 10{,}64\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Tempo para esvaziar a piscina (modelo teórico sem perdas): agora vamos calcular o tempo de esvaziamento supondo o modelo ideal (novamente sem perdas). Precisamos montar a equação diferencial que descreve a variação da altura h(t) da água. A área da seção transversal da piscina A_{p} é
A_{p}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 6^{2}}{4}=\pi\cdot 9=9\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 28{,}2743\\ \mathrm{m^{2}}.
O volume da piscina é V=A_{p}h. A taxa de variação do volume é a vazão volumétrica para fora (com sinal negativo):
\frac{dV}{dt}=-Q(h)=-a\sqrt{2gh}.
Como V=A_{p}h, temos
A_{p}\frac{dh}{dt}=-a\sqrt{2gh}.
Isolando dh/dt:
\frac{dh}{dt}=-\frac{a}{A_{p}}\sqrt{2g}\,\sqrt{h}.
Isto é uma equação separável; separamos e integramos de h(0)=h_{0}=1{,}5 até h(t)=0:
\int_{h_{0}}^{0}\frac{dh}{\sqrt{h}}=-\frac{a}{A_{p}}\sqrt{2g}\int_{0}^{t}dt.
Calcule as integrais: \displaystyle\int\frac{dh}{\sqrt{h}}=2\sqrt{h}. Então
\big[2\sqrt{h}\big]_{h_{0}}^{0}=-\frac{a}{A_{p}}\sqrt{2g}\,t.
O lado esquerdo vale 2\sqrt{0}-2\sqrt{h_{0}}=-2\sqrt{h_{0}}. Cancelando sinais,
t=\frac{2A_{p}\sqrt{h_{0}}}{a\sqrt{2g}}.
Observação útil: ao substituir as áreas com \pi muitas vezes o \pi cancela; aqui dá simplificação. Agora fazemos os cálculos numéricos com os valores já obtidos.

Passo 5

Cálculo numérico do tempo: vamos usar as formas já calculadas:
A_{p}=9\pi,\qquad a=\pi\cdot 0{,}000625,
substituindo em t:
t=\frac{2(9\pi)\sqrt{1{,}5}}{(\pi\cdot 0{,}000625)\sqrt{2\cdot 9{,}81}}.
Cancelando \pi:
t=\frac{18\sqrt{1{,}5}}{0{,}000625\sqrt{19{,}62}}.
Agora os valores numéricos: \sqrt{1{,}5}\approx 1{,}2247449 e \sqrt{19{,}62}\approx 4{,}42947. Então
t\approx \frac{18\cdot 1{,}2247449}{0{,}000625\cdot 4{,}42947}\approx \frac{22{,}0454}{0{,}00276842}\approx 7{,}966\\ \mathrm{s}.
Convertendo para horas/minutos/segundos:
7{,}966\\ \mathrm{s}\approx 2{,}21\\ \mathrm{h}\approx 2\\ \mathrm{h}\\\ 12\\ \mathrm{min}\\\ 46\\ \mathrm{s}\\ \text{(aprox.)}.

Resposta

(a) \dot{m}\approx 10{,}64\\ \mathrm{kg/s}. A vazão mássica real será menor devido a perdas por atrito ao longo dos 10\\ \mathrm{m} do tubo, perdas localizadas (entrada/saída, contração), e efeitos viscosos/turbulência que consomem parte do head disponível.
(b) t\approx 7{,}97\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}21\\ \mathrm{h}\\ (\text{aprox. }2\\ \mathrm{h}\\\ 12\\ \mathrm{min}\\\ 46\\ \mathrm{s}).

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