Questão 2 - Aletas retangulares retas, com 3 mm de espessura e 2 cm de comprimento, são soldadas a uma placa plana de 1 m por 1 m e 5 mm de espessura. Tanto as aletas como a placa são feitos de aço carbono comum (\mathrm{k}=56,7 \mathrm{W} / \mathrm{m}{ }^{\circ} \mathrm{C}. A superficie niâo aletada é mantida a uma temperatura uniforme de 180^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a superficie aletada està em contato com o ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. O espaçamento entre as aletas é de 7 mm , e o coeficiente de transferencia de calor po conveção em todas as superficies em contato com o fluudo è de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}.
Determinar a taxa de transferència de calor da placa. Qual seria a taxa de transferéncia de calor se as aletas não fossem instaladas?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor total da placa com aletas (e, depois, o valor sem as aletas). Dados fornecidos (todos recopiados do enunciado):
\; - Dimensões da placa: 1\\ \mathrm{m}\times 1\\ \mathrm{m}, espessura 5\\ \mathrm{mm} (a espessura da placa não será usada diretamente, apenas que a superfície não aletada está à temperatura fixa).
\; - Aletas retangulares, retas: espessura t=3\\ \mathrm{mm}=0,003\\ \mathrm{m}, comprimento (projeção da placa para fora) L=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}. As aletas são soldadas numa das faces da placa e se estendem ao longo de toda a outra dimensão da placa (logo cada aleta tem 1\\ \mathrm{m} de comprimento no sentido perpendicular ao seu comprimento L).
\; - Materiais: aço carbono com condutividade térmica k=56{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C} (mesmo material para placa e aletas).
\; - Temperaturas: superfície não aletada mantida em 180^\circ\mathrm{C} (isto é, a base da aleta assume \,T_b=180^\circ\mathrm{C}), ar ambiente T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
\; - Espaçamento entre aletas (folga entre faces das aletas na base): s=7\\ \mathrm{mm}=0,007\\ \mathrm{m}.
\; - Coeficiente de transferência por convecção nas superfícies expostas: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}.
Perguntas explícitas:
\; 1) Determinar a taxa de transferência de calor da placa quando as aletas estão instaladas.
\; 2) Determinar a taxa de transferência de calor se as aletas não fossem instaladas.

Passo 2

Decisões e suposições necessárias (não pedidas no Passo 1, mas essenciais para resolver):
\; - A base da aleta (a região onde a aleta é soldada) está à temperatura uniforme \,T_b=180^\circ\mathrm{C} (dado). Isso permite usar a teoria de aletas com base à temperatura constante.
\; - As aletas são longas no sentido perpendicular ao comprimento L: cada aleta corre ao longo de 1\\ \mathrm{m} (a largura da placa). Então tratamos cada aleta como uma aleta plana de profundidade 1\\ \mathrm{m}.
\; - Modelo da aleta: aleta reta retangular, com convecção nas duas faces planas e no bordo final (usaremos a correção usual do comprimento efetivo do bordo).
\; - A condutividade do aço é suficientemente grande para justificar o modelo da aleta unidimensional (temperatura varia apenas ao longo de x, do pé à ponta).
\; - O espaçamento e a espessura determinam o número de aletas ao longo de 1\\ \mathrm{m}.
Agora vamos aplicar as fórmulas clássicas de aletas retas retangulares.

Passo 3

Calcular o número de aletas e as áreas envolvidas.
\; - Pitch (passo) entre centros de aleta igual a p = s + t. Em TeX:
p = s + t = 0{,}007\\ \mathrm{m} + 0{,}003\\ \mathrm{m} = 0{,}010\\ \mathrm{m}.
\; - Número aproximado de aletas ao longo de 1\\ \mathrm{m}:
N = \frac{1\\ \mathrm{m}}{p} = \frac{1}{0{,}010} = 100.
(assumimos exatamente 100 aletas distribuídas uniformemente).
\; - Área de superfície de uma aleta (duas faces laterais mais a ponta), a profundidade é 1\\ \mathrm{m}:
A_{\text{aleta}} = 2\cdot L\cdot 1 + t\cdot 1 = 2L + t.
Substituindo:
A_{\text{aleta}} = 2\cdot 0{,}02 + 0{,}003 = 0{,}043\\ \mathrm{m}^2.
\; - Área total de aletas:
A_{\text{aletas,tot}} = N\cdot A_{\text{aleta}} = 100\cdot 0{,}043 = 4{,}3\\ \mathrm{m}^2.
\; - Área da placa no lado aletado não coberta pela base das aletas (área exposta entre aletas): área total da face 1\\ \mathrm{m}^2 menos a área ocupada pelas bases das aletas (cada base tem largura t e profundidade 1\\ \mathrm{m}):
A_{\text{base\_exposta}} = 1 - N\cdot t = 1 - 100\cdot 0{,}003 = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\\ \mathrm{m}^2.
Explicação curta para fixar a ideia: as aletas ocupam 0{,}3\\ \mathrm{m}^2 da face (100 vezes 0{,}003\times1), então sobra 0{,}7\\ \mathrm{m}^2 direta para convecção da placa.

Passo 4

Introdução à fórmula da eficiência de aleta e parâmetro m (aula curta).
Para uma aleta retangular fina (espessura pequena t) com convecção nas duas faces, o parâmetro característico é
m = \sqrt{\frac{hP}{kA_c}},
onde:
\; - h é o coeficiente convectivo (aqui 10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}),
\; - P é o perímetro da seção transversal da aleta que está exposto à convecção (para uma aleta muito fina e profundidade 1\\ \mathrm{m}, as faces grandes dominam e P\approx 2\cdot 1 = 2\\ \mathrm{m}),
\; - A_c é a área da seção transversal condutora (espessura t vezes profundidade 1\\ \mathrm{m}, portanto A_c = t\cdot 1 = t).
Com essas simplificações (perímetro P\approx 2 e A_c=t), obtemos a forma usual:
m = \sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
A eficiência da aleta com comprimento efetivo L_c (que inclui meia espessura para o bordo) é, para aleta reta com convecção em ambas as faces,
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL_c)}{mL_c}.
O comprimento efetivo escolhido é
L_c = L + \frac{t}{2},
para incluir a perda no bordo.

Passo 5

Calcular m, L_c, mL_c e a eficiência \eta.
\; - Calcular m:
m = \sqrt{\frac{2h}{k\,t}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10}{56{,}7\cdot 0{,}003}}
Façando as contas passo a passo:
\; k\,t = 56{,}7\cdot 0{,}003 = 0{,}1701.
\; 2h = 20.
\; Logo:
m = \sqrt{\frac{20}{0{,}1701}} = \sqrt{117{,}60\ldots} \approx 10{,}8466\\ \mathrm{m}^{-1}.
\; - Comprimento efetivo:
L_c = L + \frac{t}{2} = 0{,}02 + \frac{0{,}003}{2} = 0{,}020 + 0{,}0015 = 0{,}0215\\ \mathrm{m}.
\; - Produto mL_c:
mL_c \approx 10{,}8466 \times 0{,}0215 \approx 0{,}2331.
\; - Eficiência da aleta:
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL_c)}{mL_c}.
Como mL_c é pequeno (cerca de 0{,}233), podemos calcular \operatorname{tanh}(0{,}2331). Usando a definição ou aproximação,
\operatorname{tanh}(0{,}2331)\approx 0{,}2291.
Logo
\eta \approx \frac{0{,}2291}{0{,}2331} \approx 0{,}9829 \approx 0{,}983.
Interpretação: eficiência muito alta (próxima de 1) porque as aletas são curtas e o metal conduz bem.

Passo 6

Calcular a contribuição de calor das aletas (com eficiência) e da área de base exposta.
Diferença de temperatura entre base e ar:
\Delta T = T_b - T_\infty = 180^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 160\\ \mathrm{K}.
\; - Fluxo convectivo equivalente das aletas (considerando eficiência):
Q_{\text{aletas}} = \eta\, h\, A_{\text{aletas,tot}}\, \Delta T.
Substituindo números:
Q_{\text{aletas}} \approx 0{,}9829 \times 10 \times 4{,}3 \times 160.
Calcule passo a passo:
\; 10\cdot 4{,}3 \cdot 160 = 6880.
\; Multiplicando por \eta:
Q_{\text{aletas}} \approx 0{,}9829 \times 6880 \approx 6761\\ \mathrm{W}.
\; - Fluxo convectivo da área da base exposta (entre as aletas):
Q_{\text{base\_exposta}} = h\, A_{\text{base\_exposta}}\, \Delta T = 10 \times 0{,}7 \times 160 = 1120\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Somar contribuições para obter a taxa total de perda de calor da placa com aletas.
Q_{\text{total,com aletas}} = Q_{\text{aletas}} + Q_{\text{base\_exposta}} \approx 6761 + 1120 = 7881\\ \mathrm{W}.
Arredondando para apresentação: Q_{\text{total,com aletas}} \approx 7{,}88\\ \mathrm{kW}.
Breve comentário motivador: veja como as aletas aumentam bastante a área efetiva de troca — a taxa com aletas saiu cerca de 4,9 vezes maior do que sem elas (veremos no próximo passo).

Passo 8

Calcular a taxa de transferência de calor se as aletas não fossem instaladas.
Sem aletas, a face lisa da placa (aquela em contato com o ar) teria área A_{\text{placa}}=1\\ \mathrm{m}^2 e o fluxo convectivo seria simplesmente
Q_{\text{sem aletas}} = h\, A_{\text{placa}}\, \Delta T = 10 \times 1 \times 160 = 1600\\ \mathrm{W}.
Ou seja, Q_{\text{sem aletas}} = 1{,}60\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Q_{\text{total, com aletas}} \approx 7{,}88\\ \mathrm{kW}
Q_{\text{sem aletas}} = 1{,}60\\ \mathrm{kW}

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