Questão 2 - Aletas retangulares retas, com 3 mm de espessura e 2 cm de comprimento, são soldadas a uma placa plana de 1 m por 1 m e 5 mm de espessura. Tanto as aletas como a placa são feitos de aço carbono comum
. A superficie niâo aletada é mantida a uma temperatura uniforme de
, enquanto a superficie aletada està em contato com o ar a
. O espaçamento entre as aletas é de 7 mm , e o coeficiente de transferencia de calor po conveção em todas as superficies em contato com o fluudo è de
.
Determinar a taxa de transferència de calor da placa. Qual seria a taxa de transferéncia de calor se as aletas não fossem instaladas?
Passo 1
O enunciado pede a taxa de transferência de calor total da placa com aletas (e, depois, o valor sem as aletas). Dados fornecidos (todos recopiados do enunciado):
Perguntas explícitas:
1) Determinar a taxa de transferência de calor da placa quando as aletas estão instaladas.
2) Determinar a taxa de transferência de calor se as aletas não fossem instaladas.
Passo 2
Decisões e suposições necessárias (não pedidas no Passo 1, mas essenciais para resolver):
- A base da aleta (a região onde a aleta é soldada) está à temperatura uniforme
(dado). Isso permite usar a teoria de aletas com base à temperatura constante.
- As aletas são longas no sentido perpendicular ao comprimento
: cada aleta corre ao longo de
(a largura da placa). Então tratamos cada aleta como uma aleta plana de profundidade
.
- Modelo da aleta: aleta reta retangular, com convecção nas duas faces planas e no bordo final (usaremos a correção usual do comprimento efetivo do bordo).
- A condutividade do aço é suficientemente grande para justificar o modelo da aleta unidimensional (temperatura varia apenas ao longo de
, do pé à ponta).
- O espaçamento e a espessura determinam o número de aletas ao longo de
.
Agora vamos aplicar as fórmulas clássicas de aletas retas retangulares.
Passo 3
Calcular o número de aletas e as áreas envolvidas.
(assumimos exatamente 100 aletas distribuídas uniformemente).
Substituindo:
Explicação curta para fixar a ideia: as aletas ocupam
da face (100 vezes
), então sobra
direta para convecção da placa.
Passo 4
Introdução à fórmula da eficiência de aleta e parâmetro
(aula curta).
Para uma aleta retangular fina (espessura pequena
) com convecção nas duas faces, o parâmetro característico é
onde:
-
é o coeficiente convectivo (aqui
),
-
é o perímetro da seção transversal da aleta que está exposto à convecção (para uma aleta muito fina e profundidade
, as faces grandes dominam e
),
-
é a área da seção transversal condutora (espessura
vezes profundidade
, portanto
).
Com essas simplificações (perímetro
e
), obtemos a forma usual:
A eficiência da aleta com comprimento efetivo
(que inclui meia espessura para o bordo) é, para aleta reta com convecção em ambas as faces,
O comprimento efetivo escolhido é
para incluir a perda no bordo.
Passo 5
Calcular
,
,
e a eficiência
.
Façando as contas passo a passo:
Logo:
Como
é pequeno (cerca de
), podemos calcular
. Usando a definição ou aproximação,
Logo
Interpretação: eficiência muito alta (próxima de 1) porque as aletas são curtas e o metal conduz bem.
Passo 6
Calcular a contribuição de calor das aletas (com eficiência) e da área de base exposta.
Diferença de temperatura entre base e ar:
Substituindo números:
Calcule passo a passo:
Multiplicando por
:
Passo 7
Somar contribuições para obter a taxa total de perda de calor da placa com aletas.
Arredondando para apresentação:
Breve comentário motivador: veja como as aletas aumentam bastante a área efetiva de troca — a taxa com aletas saiu cerca de 4,9 vezes maior do que sem elas (veremos no próximo passo).
Passo 8
Calcular a taxa de transferência de calor se as aletas não fossem instaladas.
Sem aletas, a face lisa da placa (aquela em contato com o ar) teria área
e o fluxo convectivo seria simplesmente
Ou seja,