1- ( 2,5 pontos) Dado o campo vetorial de velocidade abaixo:
\vec{V}=x y \vec{i}+z t \vec{j}+2 y z \vec{k}
Pede-se:
a) Determine a equação da aceleração total de uma partícula exposta a este campo.
b) Determine a aceleração local, a advectiva e a total no ponto ( x ; y ; z ) = ( 1 ; 3 ; 2 ), quando o tempo é t=1 s, e esboce o gráfico da projeção sobre o plano x-y da aceleração total calculada.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=x y\,\vec{i}+z t\,\vec{j}+2 y z\,\vec{k}
e pede duas coisas:
a) Determinar a equação da aceleração total de uma partícula imersa nesse campo (ou seja, a aceleração material / total).
b) No ponto (x,y,z)=(1,3,2) e no instante t=1\\ \text{s}, determinar:
a aceleração local (derivada parcial temporal),
a aceleração advectiva (ou convectiva),
a aceleração total (soma das duas),
e ainda esboçar (descrever) a projeção sobre o plano x\!-\!y da aceleração total calculada.
A parcela \dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a aceleração local: mede a variação direta da velocidade no tempo num ponto fixo do espaço (o que muda com o tempo no ponto).
A parcela (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração advectiva (ou convectiva): mede a variação de velocidade que a partícula experimenta ao se deslocar no espaço, por causa das variações espaciais do campo de velocidade.
Explicando os símbolos:
\vec{V}=(V_x,V_y,V_z) são as componentes do campo.
Calculando as derivadas parciais: \partial (x y)/\partial x = y,\\ \partial (x y)/\partial y = x,\\ \partial (x y)/\partial z=0.
Logo
(\vec{V}\cdot\nabla) V_x = (x y)\,y + (z t)\,x + (2 y z)\cdot 0 = x y^2 + x z t.
Componente y da advectiva:
(\vec{V}\cdot\nabla) V_y = (x y)\frac{\partial (z t)}{\partial x} + (z t)\frac{\partial (z t)}{\partial y} + (2 y z)\frac{\partial (z t)}{\partial z}.
As derivadas: \partial (z t)/\partial x=0,\\ \partial (z t)/\partial y=0,\\ \partial (z t)/\partial z=t.
Logo
(\vec{V}\cdot\nabla) V_y = (x y)\cdot 0 + (z t)\cdot 0 + (2 y z)\,t = 2 y z t.
Componente z da advectiva:
(\vec{V}\cdot\nabla) V_z = (x y)\frac{\partial (2 y z)}{\partial x} + (z t)\frac{\partial (2 y z)}{\partial y} + (2 y z)\frac{\partial (2 y z)}{\partial z}.
Derivadas: \partial(2 y z)/\partial x=0,\\ \partial(2 y z)/\partial y=2 z,\\ \partial(2 y z)/\partial z=2 y.
Então
(\vec{V}\cdot\nabla) V_z = (x y)\cdot 0 + (z t)\,(2 z) + (2 y z)\,(2 y) = 2 z^2 t + 4 y^2 z.
Portanto a aceleração advectiva é
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = \big(x y^2 + x z t\big)\,\vec{i} + \big(2 y z t\big)\,\vec{j} + \big(2 z^2 t + 4 y^2 z\big)\,\vec{k}.
Passo 5
Somando a aceleração local e a advectiva obtemos a aceleração total (material):
Então, no esboço: desenhe o ponto (1,3) e trace uma seta saindo dele em direção a (12,17), com comprimento proporcional a \sqrt{317} e inclinação cerca de 51{,}9^\circ sobre o eixo x.
Resposta
a) \displaystyle \frac{D\vec{V}}{Dt}=\big(x y^2 + x z t\big)\,\vec{i} + \big(2 y z t + z\big)\,\vec{j} + \big(2 z^2 t + 4 y^2 z\big)\,\vec{k}.
b) Aceleração local: \displaystyle \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}\Big|_{(1,3,2),t=1}=\big(0,\,2,\,0\big).
Aceleração advectiva: \displaystyle (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\Big|_{(1,3,2),t=1}=\big(11,\,12,\,80\big).
Aceleração total: \displaystyle \frac{D\vec{V}}{Dt}\Big|_{(1,3,2),t=1}=\big(11,\,14,\,80\big).
Projeção no plano x\!-\!y: \vec{a}_{xy}=(11,\,14) (seta em (1,3) apontando para (12,17), módulo \sqrt{317}\approx 17{,}8, ângulo \approx 51{,}9^\circ).