1- ( 2,5 pontos) Dado o campo vetorial de velocidade abaixo:
\vec{V}=x y \vec{i}+z t \vec{j}+2 y z \vec{k}
Pede-se:
a) Determine a equação da aceleração total de uma partícula exposta a este campo.
b) Determine a aceleração local, a advectiva e a total no ponto ( x ; y ; z ) = ( 1 ; 3 ; 2 ), quando o tempo é t=1 s, e esboce o gráfico da projeção sobre o plano x-y da aceleração total calculada.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=x y\,\vec{i}+z t\,\vec{j}+2 y z\,\vec{k}
e pede duas coisas:
a) Determinar a equação da aceleração total de uma partícula imersa nesse campo (ou seja, a aceleração material / total).
b) No ponto (x,y,z)=(1,3,2) e no instante t=1\\ \text{s}, determinar:
  • a aceleração local (derivada parcial temporal),
  • a aceleração advectiva (ou convectiva),
  • a aceleração total (soma das duas),
    e ainda esboçar (descrever) a projeção sobre o plano x\!-\!y da aceleração total calculada.
Dados relevantes colhidos do enunciado:
\vec{V}(x,y,z,t) = \big(xy,\; z t,\; 2 y z\big).
Ponto: \big(x,y,z\big)=(1,3,2). Tempo: t=1\\ \text{s}.

Passo 2

Primeiro eu te explico o conceito e a fórmula que vamos usar (aula rapidinha e prática).
Quando temos um campo de velocidades \vec{V}(x,y,z,t), a aceleração que sente uma partícula que se move com o fluido é a derivada material de \vec{V}:
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}.
Essa derivada material é composta de duas parcelas:
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
  • A parcela \dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a aceleração local: mede a variação direta da velocidade no tempo num ponto fixo do espaço (o que muda com o tempo no ponto).
  • A parcela (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração advectiva (ou convectiva): mede a variação de velocidade que a partícula experimenta ao se deslocar no espaço, por causa das variações espaciais do campo de velocidade.
Explicando os símbolos:
  • \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) são as componentes do campo.
  • \nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z).
  • (\vec{V}\cdot\nabla) é o operador V_x\partial_x+V_y\partial_y+V_z\partial_z.
Vamos aplicar isso passo a passo ao campo dado.

Passo 3

Calcular a aceleração local \dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t}.
Escrevendo as componentes:
V_x(x,y,z,t)=x y,\quad V_y(x,y,z,t)=z t,\quad V_z(x,y,z,t)=2 y z.
Derivando cada componente em relação a t mantendo x,y,z fixos:
  • \dfrac{\partial V_x}{\partial t}= \dfrac{\partial (x y)}{\partial t}=0 porque x y não depende de t.
  • \dfrac{\partial V_y}{\partial t}= \dfrac{\partial (z t)}{\partial t}=z (aqui z é tratado como constante).
  • \dfrac{\partial V_z}{\partial t}= \dfrac{\partial (2 y z)}{\partial t}=0.
Portanto a aceleração local é
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=0\,\vec{i}+z\,\vec{j}+0\,\vec{k}=z\,\vec{j}.

Passo 4

Calcular a aceleração advectiva (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Primeiro formamos o operador escalar
\vec{V}\cdot\nabla = V_x\frac{\partial}{\partial x}+V_y\frac{\partial}{\partial y}+V_z\frac{\partial}{\partial z}.
Substituindo V_x=xy,\;V_y=zt,\;V_z=2yz:
\vec{V}\cdot\nabla = (x y)\frac{\partial}{\partial x} + (z t)\frac{\partial}{\partial y} + (2 y z)\frac{\partial}{\partial z}.
Agora aplicamos esse operador componente a componente de \vec{V}.
Componente x da advectiva:
(\vec{V}\cdot\nabla) V_x = (x y)\frac{\partial (x y)}{\partial x} + (z t)\frac{\partial (x y)}{\partial y} + (2 y z)\frac{\partial (x y)}{\partial z}.
Calculando as derivadas parciais:
\partial (x y)/\partial x = y,\\ \partial (x y)/\partial y = x,\\ \partial (x y)/\partial z=0.
Logo
(\vec{V}\cdot\nabla) V_x = (x y)\,y + (z t)\,x + (2 y z)\cdot 0 = x y^2 + x z t.
Componente y da advectiva:
(\vec{V}\cdot\nabla) V_y = (x y)\frac{\partial (z t)}{\partial x} + (z t)\frac{\partial (z t)}{\partial y} + (2 y z)\frac{\partial (z t)}{\partial z}.
As derivadas: \partial (z t)/\partial x=0,\\ \partial (z t)/\partial y=0,\\ \partial (z t)/\partial z=t.
Logo
(\vec{V}\cdot\nabla) V_y = (x y)\cdot 0 + (z t)\cdot 0 + (2 y z)\,t = 2 y z t.
Componente z da advectiva:
(\vec{V}\cdot\nabla) V_z = (x y)\frac{\partial (2 y z)}{\partial x} + (z t)\frac{\partial (2 y z)}{\partial y} + (2 y z)\frac{\partial (2 y z)}{\partial z}.
Derivadas: \partial(2 y z)/\partial x=0,\\ \partial(2 y z)/\partial y=2 z,\\ \partial(2 y z)/\partial z=2 y.
Então
(\vec{V}\cdot\nabla) V_z = (x y)\cdot 0 + (z t)\,(2 z) + (2 y z)\,(2 y) = 2 z^2 t + 4 y^2 z.
Portanto a aceleração advectiva é
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = \big(x y^2 + x z t\big)\,\vec{i} + \big(2 y z t\big)\,\vec{j} + \big(2 z^2 t + 4 y^2 z\big)\,\vec{k}.

Passo 5

Somando a aceleração local e a advectiva obtemos a aceleração total (material):
\frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\boxed{\frac{D\vec{V}}{Dt}=\big(x y^2 + x z t\big)\,\vec{i} + \big(2 y z t + z\big)\,\vec{j} + \big(2 z^2 t + 4 y^2 z\big)\,\vec{k}.}
(Pronto: essa é a expressão simbólica pedida no item (a).)

Passo 6

Agora avaliamos no ponto \big(x,y,z\big)=(1,3,2) e t=1\\ \text{s}.
Primeiro a aceleração local (já tínhamos \partial \vec V/\partial t = z\,\vec j):
\left.\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}\right|_{(1,3,2),\,t=1} = z\,\vec{j} = 2\,\vec{j} = \big(0,\,2,\,0\big).
Agora a advectiva usando as fórmulas do passo 4:
  • Componente x: x y^2 + x z t = 1\cdot 3^2 + 1\cdot 2\cdot 1 = 9 + 2 = 11.
  • Componente y: 2 y z t = 2\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 12.
  • Componente z: 2 z^2 t + 4 y^2 z = 2\cdot 2^2\cdot 1 + 4\cdot 3^2\cdot 2 = 2\cdot 4 + 4\cdot 9\cdot 2 = 8 + 72 = 80.
Portanto a aceleração advectiva no ponto é
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\Big|_{(1,3,2),\,t=1} = \big(11,\,12,\,80\big).
Somando local + advectiva para achar a aceleração total no ponto:
\frac{D\vec{V}}{Dt}\Big|_{(1,3,2),\,t=1} = \big(0,2,0\big) + \big(11,12,80\big) = \big(11,14,80\big).
Checagem rápida (consistência): a componente y da total é 12+2=14, bate.

Passo 7

Esboço da projeção sobre o plano x\!-\!y da aceleração total calculada.
A projeção sobre o plano x\!-\!y conserva só as componentes x e y. Logo a projeção da aceleração total é o vetor
\vec{a}_{xy}=(11,\,14).
Esse vetor, aplicado no ponto (1,3) do plano x\!-\!y, aponta da posição (1,3) para (1+11,\;3+14)=(12,17).
Características geométricas úteis para esboçar:
  • Módulo na projeção:
\|\vec{a}_{xy}\|=\sqrt{11^2+14^2}=\sqrt{121+196}=\sqrt{317}\approx 17{,}8.
  • Direção: ângulo com o eixo x
\theta=\arctan\!\left(\frac{14}{11}\right)\approx 51{,}9^\circ.
Então, no esboço: desenhe o ponto (1,3) e trace uma seta saindo dele em direção a (12,17), com comprimento proporcional a \sqrt{317} e inclinação cerca de 51{,}9^\circ sobre o eixo x.

Resposta

a) \displaystyle \frac{D\vec{V}}{Dt}=\big(x y^2 + x z t\big)\,\vec{i} + \big(2 y z t + z\big)\,\vec{j} + \big(2 z^2 t + 4 y^2 z\big)\,\vec{k}.
b) Aceleração local: \displaystyle \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}\Big|_{(1,3,2),t=1}=\big(0,\,2,\,0\big).
Aceleração advectiva: \displaystyle (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\Big|_{(1,3,2),t=1}=\big(11,\,12,\,80\big).
Aceleração total: \displaystyle \frac{D\vec{V}}{Dt}\Big|_{(1,3,2),t=1}=\big(11,\,14,\,80\big).
Projeção no plano x\!-\!y: \vec{a}_{xy}=(11,\,14) (seta em (1,3) apontando para (12,17), módulo \sqrt{317}\approx 17{,}8, ângulo \approx 51{,}9^\circ).

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