(2,5 Pontos) Uma placa plana de espessura \delta=2 \mathrm{~cm} está exposta a um fluxo de calor radiante \dot{Q}_{\text {rad }}^{\prime \prime}=800 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} em sua superfície superior. A placa tem comprimento 2 L=40 \mathrm{~cm} e largura muito grande (considerada infinita). O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície superior é h_{1}=25 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}, na superfície inferior é h_{2}=15 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1} e nas extremidades é h_{3}=20 \mathrm{Wm}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}. A condutividade térmica do material é k=45 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}. A temperatura ambiente é T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}.
a) (1,0 Ponto) Escreva a equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura na placa e suas condições de contorno;
b) (1,5 Pontos) Determine a temperatura máxima na placa em regime permanente.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Placa de espessura \delta = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento total 2L = 0{,}40\\ \mathrm{m}, portanto L = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Largura muito grande (infinita) — trataremos a situação como unidimensional ao longo do eixo x (do centro para as extremidades).
  • Fluxo de calor radiante incidente na superfície superior: \dot{q}_{\text{rad}}'' = 800\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Coeficientes de convecção:
    • superfície superior: h_{1} = 25\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}},
    • superfície inferior: h_{2} = 15\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}},
    • extremidades (faces em x=\pm L): h_{3} = 20\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Condutividade térmica: k = 45\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • Temperatura do ambiente: T_{\infty} = 20{^\circ\mathrm{C}}.
O enunciado pede:
a) Escrever a equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura na placa em regime permanente e as condições de contorno.
b) Determinar a temperatura máxima na placa em regime permanente.

Passo 2

Modelagem e dedução da equação diferencial (explicação passo a passo e física por trás de cada termo).
Assunções e simplificações justificadas:
  • Como a largura é muito grande, a variação na direção da largura é desprezível e o problema reduz-se a uma variação ao longo do eixo x (da metade da placa): x\in[-L,L].
  • A espessura \delta é pequena e assume-se temperatura praticamente uniforme através da espessura em cada seção x. Assim T=T(x) (temperatura média através da espessura).
  • Consideramos um elemento diferencial de comprimento dx e unidade de largura em profundidade (por metro de largura). Área de seção para condução no sentido x: A = \delta\cdot 1.
Balanço de energia por unidade de largura, para um elemento dx em regime permanente:
  • Fluxo por condução entrando pela esquerda menos saindo pela direita: \dfrac{d}{dx}\big(k\,\delta\,\dfrac{dT}{dx}\big)\,dx.
  • Entrada de calor por radiação na superfície superior do elemento: \dot{q}_{\text{rad}}''\cdot 1\cdot dx.
  • Perda por convecção na superfície superior: h_{1}\,[T(x)-T_{\infty}]\cdot 1\cdot dx.
  • Perda por convecção na superfície inferior: h_{2}\,[T(x)-T_{\infty}]\cdot 1\cdot dx.
Colocando tudo em balanço (soma de fluxos = 0):
\frac{d}{dx}\Big(k\,\delta\,\frac{dT}{dx}\Big) + \dot{q}_{\text{rad}}'' - h_{1}\big[T(x)-T_{\infty}\big] - h_{2}\big[T(x)-T_{\infty}\big] = 0.
Simplificando e dividindo por k\delta obtemos a forma padrão:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} - m^{2}\,T(x) = -A,
onde definimos para clareza:
m^{2}=\frac{h_{1}+h_{2}}{k\,\delta},\qquad A=\frac{(h_{1}+h_{2})\,T_{\infty}+\dot{q}_{\text{rad}}''}{k\,\delta}.
Condições de contorno (usar a simetria e a convecção nas extremidades):
  • O problema é simétrico em x=0 (centro da placa), logo condição de simetria (Neumann):
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
  • Na extremidade x=L há convecção nas faces finais (área da face final por unidade de largura = \delta). Balanceando o fluxo condutivo com a convecção na face x=L:
- k\,\delta\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} \;=\; h_{3}\,\delta\,[T(L)-T_{\infty}].
Cancelando \delta obtemos a condição de contorno em forma reduzida:
- k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h_{3}\,[T(L)-T_{\infty}].
Observação: equivalentemente pode-se escrever a condição nos dois extremos x=\pm L, mas para resolver explora-se a simetria e trabalha-se em 0\le x\le L com as duas condições acima.

Passo 3

Solução geral da equação diferencial (aula curta sobre solução de ODEs lineares com coeficientes constantes).
A equação é linear, com solução que é soma da solução homogênea e de uma solução particular constante:
  • A solução particular constante T_{p} satisfaz:
- m^{2} T_{p} = -A \quad\Rightarrow\quad T_{p} = \frac{A}{m^{2}}.
Substituindo as definições de A e m^{2} obtemos uma forma física simples:
T_{p} = T_{\infty} + \frac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}.
Interpretação: se não houvesse transporte ao longo de x (placa muito longa), o equilíbrio local seria que a potência radiada \dot{q}_{\text{rad}}'' é dissipada pelas convecções superior e inferior combinadas h_{1}+h_{2}, dando um acréscimo de temperatura \dot{q}_{\text{rad}}''/(h_{1}+h_{2}) sobre T_{\infty}.
  • A solução homogênea da equação \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}-m^{2}T=0 é:
T_{h}(x)=C_{1}\,e^{m x}+C_{2}\,e^{-m x}.
Usando simetria T(x)=T(-x) (logo C_{1}=C_{2}=B), podemos escrever a solução completa como
T(x)=T_{p} + B\operatorname{cosh}(m x).
A constante B será determinada pela condição na extremidade x=L.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno em x=L para determinar B e obter T(x); em particular a temperatura máxima em x=0.
Derivada:
\frac{dT}{dx} = B\,m\,\operatorname{sinh}(m x).
Condição na extremidade x=L:
- k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h_{3}\big[T(L)-T_{\infty}\big].
Substituindo T e sua derivada:
- k\,B\,m\,\operatorname{sinh}(mL) = h_{3}\Big[T_{p} + B\operatorname{cosh}(mL) - T_{\infty}\Big].
Lembrando que T_{p}-T_{\infty}=\dfrac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}, isolamos B:
B\Big(-k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) - h_{3}\operatorname{cosh}(mL)\Big) = h_{3}\,\frac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}.
Portanto
B = -\,\frac{h_{3}\,\dfrac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}}{k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) + h_{3}\operatorname{cosh}(mL)}.
A temperatura máxima ocorre no centro x=0 (por simetria e porque \operatorname{cosh} é máximo em x=0 entre 0 e L). Assim
T_{\max}=T(0)=T_{p}+B = T_{\infty} + \frac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}\;\Bigg[1 - \frac{h_{3}}{k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) + h_{3}\operatorname{cosh}(mL)}\Bigg].
Essa é a expressão analítica final para T_{\max}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (substituindo os valores numéricos e mostrando as contas):
Primeiro calcular m^{2} e m:
m^{2}=\frac{h_{1}+h_{2}}{k\,\delta}=\frac{25+15}{45\cdot 0{,}02}=\frac{40}{0{,}9}=\frac{400}{9}\approx 44{,}444\\ \mathrm{m^{-2}}.
m=\sqrt{\frac{400}{9}}=\frac{20}{3}\approx 6{,}6667\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calcular mL:
mL=\frac{20}{3}\cdot 0{,}20=\frac{4}{3}\approx 1{,}333333\\ (\text{adimensional}).
Calcular as funções hiperbólicas (valores aproximados):
\operatorname{sinh}(mL)=\operatorname{sinh}\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 1{,}76455, \qquad \operatorname{cosh}(mL)=\operatorname{cosh}\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 2{,}02865.
Calcular k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) e h_{3}\operatorname{cosh}(mL):
k\,m = 45\cdot \frac{20}{3} = 300\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) \approx 300\cdot 1{,}76455 \approx 529{,}365\\ \mathrm{(unidade\: W\,m^{-2}\,K^{-1} \; multiplicadora)}.
h_{3}\operatorname{cosh}(mL) \approx 20\cdot 2{,}02865 \approx 40{,}573.
Soma do denominador:
k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) + h_{3}\operatorname{cosh}(mL) \approx 529{,}365 + 40{,}573 \approx 569{,}938.
Calcular o fator \dfrac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}:
\frac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}=\frac{800}{40}=20\\ \mathrm{K}.
Calcular o termo entre colchetes da fórmula de T_{\max}:
1 - \frac{h_{3}}{k\,m\,\operatorname{sinh}(mL) + h_{3}\operatorname{cosh}(mL)} =1 - \frac{20}{569{,}938}\approx 1 - 0{,}03509 \approx 0{,}96491.
Finalmente:
T_{\max}=T_{\infty} + 20\cdot 0{,}96491 \approx 20 + 19{,}2982 \approx 39{,}30\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem (curta para dar confiança):
  • Se a peça fosse infinitamente longa (sem perda nas extremidades), o aumento de temperatura esperado seria 20\\ ^\circ\mathrm{C} acima de T_{\infty}, ou seja 40{^\circ}\mathrm{C}. Aqui, a convecção nas extremidades retira parte do calor e reduz ligeiramente o máximo para cerca de 39{,}3{^\circ}\mathrm{C}. O resultado é consistente e fisicamente razoável.

Resposta

a) Equação diferencial e condições de contorno:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} - m^{2}T(x) = -A,
\text{com } m^{2}=\frac{h_{1}+h_{2}}{k\,\delta},\quad A=\frac{(h_{1}+h_{2})T_{\infty}+\dot{q}_{\text{rad}}''}{k\,\delta},
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0,\qquad -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h_{3}\big[T(L)-T_{\infty}\big].
b) Temperatura máxima no centro:
T_{\max}=T_{\infty}+\frac{\dot{q}_{\text{rad}}''}{h_{1}+h_{2}}\left[1-\frac{h_{3}}{k\,m\,\operatorname{sinh}(mL)+h_{3}\operatorname{cosh}(mL)}\right]\approx 39{,}30\\ ^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados