(2,5 Pontos) Uma placa plana de espessura \delta=2 \mathrm{~cm} está exposta a um fluxo de calor radiante \dot{Q}_{\text {rad }}^{\prime \prime}=800 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} em sua superfície superior. A placa tem comprimento 2 L=40 \mathrm{~cm} e largura muito grande (considerada infinita). O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície superior é h_{1}=25 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}, na superfície inferior é h_{2}=15 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1} e nas extremidades é h_{3}=20 \mathrm{Wm}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}. A condutividade térmica do material é k=45 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}. A temperatura ambiente é T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}.
a) (1,0 Ponto) Escreva a equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura na placa e suas condições de contorno;
b) (1,5 Pontos) Determine a temperatura máxima na placa em regime permanente.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
Placa de espessura \delta = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
Comprimento total 2L = 0{,}40\\ \mathrm{m}, portanto L = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
Largura muito grande (infinita) — trataremos a situação como unidimensional ao longo do eixo x (do centro para as extremidades).
Fluxo de calor radiante incidente na superfície superior: \dot{q}_{\text{rad}}'' = 800\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
extremidades (faces em x=\pm L): h_{3} = 20\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Condutividade térmica: k = 45\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
Temperatura do ambiente: T_{\infty} = 20{^\circ\mathrm{C}}.
O enunciado pede:
a) Escrever a equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura na placa em regime permanente e as condições de contorno.
b) Determinar a temperatura máxima na placa em regime permanente.
Passo 2
Modelagem e dedução da equação diferencial (explicação passo a passo e física por trás de cada termo).
Assunções e simplificações justificadas:
Como a largura é muito grande, a variação na direção da largura é desprezível e o problema reduz-se a uma variação ao longo do eixo x (da metade da placa): x\in[-L,L].
A espessura \delta é pequena e assume-se temperatura praticamente uniforme através da espessura em cada seção x. Assim T=T(x) (temperatura média através da espessura).
Consideramos um elemento diferencial de comprimento dx e unidade de largura em profundidade (por metro de largura). Área de seção para condução no sentido x: A = \delta\cdot 1.
Balanço de energia por unidade de largura, para um elemento dx em regime permanente:
Fluxo por condução entrando pela esquerda menos saindo pela direita: \dfrac{d}{dx}\big(k\,\delta\,\dfrac{dT}{dx}\big)\,dx.
Entrada de calor por radiação na superfície superior do elemento: \dot{q}_{\text{rad}}''\cdot 1\cdot dx.
Perda por convecção na superfície superior: h_{1}\,[T(x)-T_{\infty}]\cdot 1\cdot dx.
Perda por convecção na superfície inferior: h_{2}\,[T(x)-T_{\infty}]\cdot 1\cdot dx.
Condições de contorno (usar a simetria e a convecção nas extremidades):
O problema é simétrico em x=0 (centro da placa), logo condição de simetria (Neumann):
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Na extremidade x=L há convecção nas faces finais (área da face final por unidade de largura = \delta). Balanceando o fluxo condutivo com a convecção na face x=L:
Observação: equivalentemente pode-se escrever a condição nos dois extremos x=\pm L, mas para resolver explora-se a simetria e trabalha-se em 0\le x\le L com as duas condições acima.
Passo 3
Solução geral da equação diferencial (aula curta sobre solução de ODEs lineares com coeficientes constantes).
A equação é linear, com solução que é soma da solução homogênea e de uma solução particular constante:
A solução particular constante T_{p} satisfaz:
- m^{2} T_{p} = -A \quad\Rightarrow\quad T_{p} = \frac{A}{m^{2}}.
Substituindo as definições de A e m^{2} obtemos uma forma física simples:
Interpretação: se não houvesse transporte ao longo de x (placa muito longa), o equilíbrio local seria que a potência radiada \dot{q}_{\text{rad}}'' é dissipada pelas convecções superior e inferior combinadas h_{1}+h_{2}, dando um acréscimo de temperatura \dot{q}_{\text{rad}}''/(h_{1}+h_{2}) sobre T_{\infty}.
A solução homogênea da equação \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}-m^{2}T=0 é:
T_{h}(x)=C_{1}\,e^{m x}+C_{2}\,e^{-m x}.
Usando simetria T(x)=T(-x) (logo C_{1}=C_{2}=B), podemos escrever a solução completa como
T(x)=T_{p} + B\operatorname{cosh}(m x).
A constante B será determinada pela condição na extremidade x=L.
Passo 4
Aplicar a condição de contorno em x=L para determinar B e obter T(x); em particular a temperatura máxima em x=0.
Interpretação rápida e checagem (curta para dar confiança):
Se a peça fosse infinitamente longa (sem perda nas extremidades), o aumento de temperatura esperado seria 20\\ ^\circ\mathrm{C} acima de T_{\infty}, ou seja 40{^\circ}\mathrm{C}. Aqui, a convecção nas extremidades retira parte do calor e reduz ligeiramente o máximo para cerca de 39{,}3{^\circ}\mathrm{C}. O resultado é consistente e fisicamente razoável.