(2,0 PONTOS) O potencial elétrico em uma regiāo do plano x y é dado por \mathrm{V}(x, y)=\frac{180}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 45?
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (3,4).

Passo 1

O enunciado nos dá a função potencial elétrica no plano xy:
V(x,y)=\frac{180}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
As perguntas são duas:
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 45?
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (3,4).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão de V(x,y) depende apenas de \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto (3,4) pertence ao plano e será usado para encontrar a equipotencial correspondente.

Passo 2

Entendendo o que é “lugar geométrico” e “curva equipotencial” de forma simples e prática.
  • Lugar geométrico: conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem uma certa condição (aqui: V(x,y)=45).
  • Curva equipotencial: curva onde o potencial V tem um valor constante V_0; ou seja, conjunto de pontos que satisfazem V(x,y)=V_0.
No nosso caso, resolver cada item consiste em impor uma igualdade do tipo V(x,y)= (constante) e manipular algebricamente para obter a equação geométrica em termos de x e y.

Passo 3

Observação importante sobre a dependência radial.
  • Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Essa é a distância do ponto (x,y) à origem.
  • A função dada depende apenas de r: V(r)=\dfrac{180}{r}.
    Isto indica simetria circular: as curvas equipotenciais serão círculos centrados na origem (porque qualquer ponto com mesma distância r tem o mesmo V).

Passo 4

Resolver o item (a): lugar geométrico para V=45.
  • Partir da equação
V(x,y)=45.
  • Substituir a expressão de V:
\frac{180}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=45.
Agora resolvemos essa equação para \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação do passo anterior passo a passo.
  • Multiplicar os dois lados por \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
180 = 45\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Isolar \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{180}{45}.
  • Fazer a divisão:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=4.
  • Elevar ao quadrado para obter em termos de x e y:
x^{2}+y^{2}=16.
Interpretação: isso é a equação de um círculo de raio 4 centrado na origem.

Passo 6

Resolver o item (b): curva equipotencial que passa pelo ponto (3,4).
  • Primeiro calcular o potencial no ponto dado, para saber qual é o valor constante V_0 da equipotencial.
  • Calcular r para o ponto (3,4):
r=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Calcular V nesse ponto usando a fórmula:
V(3,4)=\frac{180}{5}=36.
Logo a equipotencial que passa por (3,4) é a curva onde V(x,y)=36.

Passo 7

Encontrar explicitamente essa curva equipotencial.
  • Partir de
\frac{180}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=36.
  • Proceder como antes: multiplicar e isolar a raiz:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{180}{36}.
  • Fazer a divisão:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5.
  • Elevar ao quadrado:
x^{2}+y^{2}=25.
Interpretação: é um círculo de raio 5 centrado na origem. Isso confirma que o ponto (3,4) (que tem distância 5 da origem) pertence a esse círculo.

Resposta

a) x^{2}+y^{2}=16.
b) x^{2}+y^{2}=25.

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