(2,0 PONTOS) O potencial elétrico em uma regiāo do plano
é dado por
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 45?
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto
.
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 45?
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função potencial elétrica no plano
:
As perguntas são duas:
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é ?
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto .
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão de
depende apenas de . - O ponto
pertence ao plano e será usado para encontrar a equipotencial correspondente.
Passo 2
Entendendo o que é “lugar geométrico” e “curva equipotencial” de forma simples e prática.
- Lugar geométrico: conjunto de todos os pontos
que satisfazem uma certa condição (aqui: ). - Curva equipotencial: curva onde o potencial
tem um valor constante ; ou seja, conjunto de pontos que satisfazem .
No nosso caso, resolver cada item consiste em impor uma igualdade do tipo
(constante) e manipular algebricamente para obter a equação geométrica em termos de
e
.
Passo 3
Observação importante sobre a dependência radial.
- Defina
. Essa é a distância do ponto à origem. - A função dada depende apenas de
: .
Isto indica simetria circular: as curvas equipotenciais serão círculos centrados na origem (porque qualquer ponto com mesma distânciatem o mesmo ).
Passo 4
Resolver o item (a): lugar geométrico para
.
- Partir da equação
- Substituir a expressão de
:
Agora resolvemos essa equação para
.
Passo 5
Resolver a equação do passo anterior passo a passo.
- Multiplicar os dois lados por
:
- Isolar
:
- Fazer a divisão:
- Elevar ao quadrado para obter em termos de
e :
Interpretação: isso é a equação de um círculo de raio
centrado na origem.
Passo 6
Resolver o item (b): curva equipotencial que passa pelo ponto
.
- Primeiro calcular o potencial no ponto dado, para saber qual é o valor constante
da equipotencial. - Calcular
para o ponto :
- Calcular
nesse ponto usando a fórmula:
Logo a equipotencial que passa por
é a curva onde
.
Passo 7
Encontrar explicitamente essa curva equipotencial.
- Partir de
- Proceder como antes: multiplicar e isolar a raiz:
- Fazer a divisão:
- Elevar ao quadrado:
Interpretação: é um círculo de raio
centrado na origem. Isso confirma que o ponto
(que tem distância
da origem) pertence a esse círculo.
Resposta
a)
b)