(2,0 PONTOS) Calcular o domínio e a imagem das funções abaixo:
f(x, y)=7-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=7-x^{2}-y^{2}.
Pede-se:
  • calcular o domínio de f (o conjunto de pares (x,y) para os quais f está definida);
  • calcular a imagem de f (o conjunto de valores reais que f pode assumir).
As informações relevantes são apenas a fórmula explícita de f(x,y) acima.

Passo 2

O que é domínio na prática? O domínio de uma função é o conjunto de entradas válidas — todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido como número real.
Aqui a expressão é 7-x^{2}-y^{2}. Polinômios e somas de potências de x e y estão definidos para todo x\in\mathbb{R} e todo y\in\mathbb{R}. Portanto não existe nenhuma restrição (como raiz par de número negativo ou divisão por zero) que impeça algum par (x,y) de ser usado.
Conclusão útil para a prova: sempre que a função for dada por polinômio em x e y, o domínio é todo o plano \mathbb{R}^2.

Passo 3

O que é imagem (ou conjunto-valor)? É o conjunto
f(\mathbb{R}^2)=\{\,f(x,y)\mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\,\}.
Para entender a imagem desta função, observe que só aparece a combinação x^{2}+y^{2}. Defina
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Note que r^{2}\ge 0 para todo (x,y). Assim podemos reescrever f como função de r^{2}:
f(x,y)=7-r^{2}.
Logo os valores possíveis de f são exatamente os números da forma 7-r^{2} com r^{2}\ge 0.

Passo 4

Analise da expressão 7-r^{2} para r^{2}\ge 0:
  • Quando r^{2}=0 (ou seja, em (x,y)=(0,0)) obtém-se f=7. Isso mostra que o valor 7 é alcançado por f.
  • Para r^{2}>0 tem-se 7-r^{2}<7. À medida que r^{2} cresce sem limite, 7-r^{2} tende a -\infty. Portanto f não tem um menor valor atingido; os valores de f descem sem limite inferior.
  • Para mostrar que todo número t menor que 7 também é alcançável, resolva 7-r^{2}=t para r\ge 0. Isso dá
r=\sqrt{7-t},
que é bem definido sempre que t\le 7. Tomando, por exemplo, x=r e y=0 constrói-se um par (x,y) com f(x,y)=t.
Assim todos os números menores ou iguais a 7 aparecem como valores de f, e nenhum número maior que 7 aparece (pois x^{2}+y^{2}\ge 0 implica f(x,y)\le 7).

Passo 5

Resumo intuitivo (para decorar e usar na prova): a função é uma cúpula invertida centrada em (0,0) com pico em altura 7; o pico é atingido em (0,0) e para longe do centro os valores vão para -\infty. Assim a imagem é todos os reais até 7, incluindo 7.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: (-\infty,7]

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