(2,0 PONTOS) Calcular o domínio e a imagem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- calcular o domínio de
(o conjunto de pares para os quais está definida); - calcular a imagem de
(o conjunto de valores reais que pode assumir).
As informações relevantes são apenas a fórmula explícita de
acima.
Passo 2
O que é domínio na prática? O domínio de uma função é o conjunto de entradas válidas — todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido como número real.
Aqui a expressão é
. Polinômios e somas de potências de
e
estão definidos para todo
e todo
. Portanto não existe nenhuma restrição (como raiz par de número negativo ou divisão por zero) que impeça algum par
de ser usado.
Conclusão útil para a prova: sempre que a função for dada por polinômio em
e
, o domínio é todo o plano
.
Passo 3
O que é imagem (ou conjunto-valor)? É o conjunto
Para entender a imagem desta função, observe que só aparece a combinação
. Defina
Note que
para todo
. Assim podemos reescrever
como função de
:
Logo os valores possíveis de
são exatamente os números da forma
com
.
Passo 4
Analise da expressão
para
:
- Quando
(ou seja, em ) obtém-se . Isso mostra que o valor é alcançado por . - Para
tem-se . À medida que cresce sem limite, tende a . Portanto não tem um menor valor atingido; os valores de descem sem limite inferior. - Para mostrar que todo número
menor que também é alcançável, resolva para . Isso dá
que é bem definido sempre que
. Tomando, por exemplo,
e
constrói-se um par
com
.
Assim todos os números menores ou iguais a
aparecem como valores de
, e nenhum número maior que
aparece (pois
implica
).
Passo 5
Resumo intuitivo (para decorar e usar na prova): a função é uma cúpula invertida centrada em
com pico em altura
; o pico é atingido em
e para longe do centro os valores vão para
. Assim a imagem é todos os reais até
, incluindo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: