(2,0 PONTOS) A temperatura do ponto (x ; y) de uma chapa é dada por \mathrm{T}(x, y)=80+\sqrt{50-x^{2}-y^{2}}.
a) Determine o dominio de T(x, y) e a temperatura do ponto (3,4).
b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e a represente no plano x y.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura da chapa
T(x,y)=80+\sqrt{50-x^{2}-y^{2}}.
As perguntas são:
  • (a) Determinar o domínio de T(x,y) e calcular a temperatura do ponto (3,4).
  • (b) Determinar a equação da isoterma que passa por (3,4) e representá‑la no plano xy.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{50-x^{2}-y^{2}}, que impõe uma condição de existência.
  • O ponto dado é (3,4).

Passo 2

Entendendo o que exige o domínio de uma função com raiz quadrada: para que \sqrt{\,\cdot\,} seja um número real devemos ter o radicando maior ou igual a zero. Ou seja, a condição para que T(x,y) esteja bem definida é
50-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,50-x^{2}-y^{2}\ge 0. Reescrevendo,
x^{2}+y^{2}\le 50.
Isto descreve todos os pontos (x,y) cuja distância ao origem satisfaz \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le \sqrt{50}. Em forma mais reconhecível,
\text{o domínio é o disco } \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 50\}.íé
Também é útil escrever \sqrt{50}=5\sqrt{2}, então o disco tem centro em (0,0) e raio 5\sqrt{2}.

Passo 4

Agora calculo a temperatura em (3,4). Primeiro avalio x^{2}+y^{2} para esse ponto:
3^{2}+4^{2}=9+16=25.
Como 25\le 50, o ponto está no domínio — ótimo. Então
T(3,4)=80+\sqrt{50-3^{2}-4^{2}}=80+\sqrt{50-25}=80+\sqrt{25}=80+5=85.

Passo 5

O que é uma isoterma? Isoterma de nível c é o conjunto dos pontos onde a temperatura é igual a c; formalmente é o nível
\{(x,y)\mid T(x,y)=c\}.
A isoterma que passa por (3,4) tem c=T(3,4)=85. Portanto imposto T(x,y)=85 e resolvo a equação:

Passo 6

Resolver T(x,y)=85:
80+\sqrt{50-x^{2}-y^{2}}=85.
Isolando a raiz,
\sqrt{50-x^{2}-y^{2}}=5.
Elevando ao quadrado (nota: como a raiz é não negativa, elevar ao quadrado é seguro aqui),
50-x^{2}-y^{2}=25.
Rearranjando,
x^{2}+y^{2}=25.
Esta é a equação da isoterma procurada.

Passo 7

Interpretando geometricamente: a equação x^{2}+y^{2}=25 representa uma circunferência de centro (0,0) e raio 5. Note que esta circunferência está contida no domínio x^{2}+y^{2}\le 50 porque 25\le 50. Para representar no plano xy pode-se usar a forma paramétrica
x=5\cos t,\qquad y=5\sin t,\qquad t\in[0,2\pi),
ou descrever a circunferência como todos os pontos a distância 5 da origem. Os pontos notáveis (interseções com eixos) são (5,0),(-5,0),(0,5),(0,-5).

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 50\}, \quad T(3,4)=85
(b) x^{2}+y^{2}=25 \quad (circunferência de centro (0,0) e raio 5; parametrização x=5\cos t,\;y=5\sin t,\;t\in[0,2\pi))

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