(2,0 PONTOS) A temperatura do ponto
de uma chapa é dada por
.
a) Determine o dominio de
e a temperatura do ponto (3,4).
b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto
e a represente no plano
.
a) Determine o dominio de
b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura da chapa
As perguntas são:
- (a) Determinar o domínio de
e calcular a temperatura do ponto . - (b) Determinar a equação da isoterma que passa por
e representá‑la no plano .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão contém uma raiz quadrada
, que impõe uma condição de existência. - O ponto dado é
.
Passo 2
Entendendo o que exige o domínio de uma função com raiz quadrada: para que
seja um número real devemos ter o radicando maior ou igual a zero. Ou seja, a condição para que
esteja bem definida é
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 3
Resolver a desigualdade
. Reescrevendo,
Isto descreve todos os pontos
cuja distância ao origem satisfaz
. Em forma mais reconhecível,
Também é útil escrever
, então o disco tem centro em
e raio
.
Passo 4
Agora calculo a temperatura em
. Primeiro avalio
para esse ponto:
Como
, o ponto está no domínio — ótimo. Então
Passo 5
O que é uma isoterma? Isoterma de nível
é o conjunto dos pontos onde a temperatura é igual a
; formalmente é o nível
A isoterma que passa por
tem
. Portanto imposto
e resolvo a equação:
Passo 6
Resolver
:
Isolando a raiz,
Elevando ao quadrado (nota: como a raiz é não negativa, elevar ao quadrado é seguro aqui),
Rearranjando,
Esta é a equação da isoterma procurada.
Passo 7
Interpretando geometricamente: a equação
representa uma circunferência de centro
e raio
. Note que esta circunferência está contida no domínio
porque
. Para representar no plano
pode-se usar a forma paramétrica
ou descrever a circunferência como todos os pontos a distância
da origem. Os pontos notáveis (interseções com eixos) são
.
Resposta
(a)
, \quad
(b)
\quad (circunferência de centro
e raio
; parametrização
)