(1,5 pontos) Ao preço de R 15,00$ um vendedor ambulante pode vender 500 unidades de uma certa mercadoria que custa R7,00 cada unidade. O vendedor estima que para cada dez centavo que ele abaixa no preço, a quantidade vendida pode aumentar de 25 . Que preço de venda maximizará o lucro?

Passo 1

Beleza, o problema diz: um vendedor cobra R$15,00 e vende 500 unidades; cada unidade custa R$7,00 pra ele. Se ele abaixa R$0,10, vende 25 unidades a mais. A gente vai montar a função lucro e achar o preço que deixa o lucro no máximo. Conteúdo: função do 2º grau (parábola) e como achar o vértice.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para controlar o desconto. Seja o número de vezes que ele abaixa R$0,10.
  • Preço de venda em função de :
  • Quantidade vendida em função de :

Passo 3

Agora a teoria de lucro. Lucro L = Receita – Custo.
  • Receita R = preço times quantidade = p(x),q(x).
  • Custo = custo por unidade times quantidade = 7,q(x).
    Então
L(x) ;=; p(x),q(x) ;-; 7,q(x) ;=; l(p(x)-7r),q(x)
Substituindo p(x) e q(x):
L(x) ;=;l(15-0,1x-7r),(500+25x) = (8-0,1x)(500+25x)
Basta multiplicar:
L(x)=8cdot500 + 8cdot25x -0,1xcdot500 -0,1xcdot25x =4000 +200x -50x -2,5x^2 =-2,5,x^2 +150,x +4000

Passo 4

Função do 2º grau com a=-2,5<0 tem máximo no vértice, dado por
xmax ;=; -b2a onde L(x)=a x^2 + b x + c
Aqui a=-2,5 e b=150. Logo
xmax = -1502cdot(-2,5) = 1505 =30

Passo 5

Esse significa 30 vezes R$0,10 de desconto, ou seja R$3,00 a menos no preço. Então o preço ótimo é

Resposta

O preço de venda que maximiza o lucro é R$ 12,00.

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