(1,5 pontos) Ao preço de R
15,00$ um vendedor ambulante pode vender 500 unidades de uma certa mercadoria que custa R7,00 cada unidade. O vendedor estima que para cada dez centavo que ele abaixa no preço, a quantidade vendida pode aumentar de 25 . Que preço de venda maximizará o lucro?
Passo 1
Beleza, o problema diz: um vendedor cobra R$15,00 e vende 500 unidades; cada unidade custa R$7,00 pra ele. Se ele abaixa R$0,10, vende 25 unidades a mais. A gente vai montar a função lucro e achar o preço que deixa o lucro no máximo. Conteúdo: função do 2º grau (parábola) e como achar o vértice.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para controlar o desconto. Seja
o número de vezes que ele abaixa R$0,10.
- Preço de venda em função de
:
- Quantidade vendida em função de
:
Passo 3
Agora a teoria de lucro. Lucro
= Receita – Custo.
- Receita
= preço quantidade = . - Custo = custo por unidade
quantidade = .
Então
Substituindo
e
:
Basta multiplicar:
Passo 4
Função do 2º grau com
tem máximo no vértice, dado por
Aqui
e
. Logo
Passo 5
Esse
significa 30 vezes R$0,10 de desconto, ou seja R$3,00 a menos no preço. Então o preço ótimo é
Resposta
O preço de venda que maximiza o lucro é R$ 12,00.