(6 pontos) Preencha as colunas 5 e 6 da tabela 1 com o inverso dos valores de h (ou V ) e suas incertezas propagadas e sua respectiva unidade. Demonstre abaixo como foi obtida a incerteza.

Passo 1

O enunciado pede que eu preencha as colunas 5 e 6 da tabela 1 com o inverso dos valores de h (ou V) e as incertezas propagadas desses inversos, incluindo a unidade correta. Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram enviadas):
  • Os valores numéricos de cada h (ou V) que aparecem nas linhas da tabela;
  • As incertezas associadas a cada h, digamos \sigma_h para cada linha;
  • A unidade em que h está expressa (por exemplo \mathrm{m}, \mathrm{s}, \mathrm{V}, etc.).
Como a tabela 1 com os valores de h e suas incertezas não foi fornecida, não é possível calcular os valores numéricos pedidos. Nos passos seguintes eu explico detalhadamente como fazer esses cálculos (fórmula, demonstração e regras de arredondamento) para que você aplique diretamente na sua tabela.

Passo 2

O que é pedido aritmeticamente: para cada linha com um valor h e sua incerteza \sigma_h, calcular o inverso
y=\frac{1}{h}
e a incerteza associada a y, que chamaremos de \sigma_y. A unidade de y será a unidade de h elevada a -1 (ou seja, se h está em \mathrm{m}, então y estará em \mathrm{m}^{-1}).

Passo 3

Princípio da propagação de incertezas (primeira ordem, linearização):
  • Se y=f(x) e x tem incerteza \sigma_x pequena, a incerteza em y é aproximada por
\sigma_y \approx \left|\frac{df}{dx}\right| \sigma_x.
Isto vem da expansão em série de Taylor de f ao redor do valor nominal de x e mantendo apenas o termo linear (válido quando \sigma_x é pequeno comparado a x).

Passo 4

Aplicando ao caso y=1/h:
  • Derivada: \displaystyle\frac{dy}{dh}=\frac{d}{dh}\left(\frac{1}{h}\right)=-\frac{1}{h^{2}}.
  • Tomando o valor absoluto para a incerteza:
\sigma_y \approx \left|\!-\frac{1}{h^{2}}\!\right| \sigma_h = \frac{\sigma_h}{h^{2}}.
Portanto, para cada linha da tabela:
\text{Coluna 5: }\; \frac{1}{h}.
\text{Coluna 6: }\; \sigma_{1/h} = \frac{\sigma_h}{h^{2}}.
Observação útil (incerteza relativa): a incerteza relativa de 1/h é igual à incerteza relativa de h:
\frac{\sigma_{1/h}}{1/h} = \frac{\sigma_h/h^{2}}{1/h} = \frac{\sigma_h}{h}.
Isto significa que a fração percentual de erro não muda ao inverter a grandeza — só muda o valor absoluto.

Passo 5

Unidades:
  • Se h está em unidades \mathrm{U} (por exemplo \mathrm{m}, \mathrm{s}, \mathrm{V}), então 1/h está em \mathrm{U}^{-1} (por exemplo \mathrm{m}^{-1}, \mathrm{s}^{-1}, \mathrm{V}^{-1}).
  • A incerteza \sigma_{1/h} tem a mesma unidade de 1/h, ou seja \mathrm{U}^{-1}.

Passo 6

Exemplo numérico didático (apenas para ilustrar o procedimento; não usar como resposta final da sua tabela a menos que esses sejam realmente os valores da tabela):
Suponha h=2,00\\ \mathrm{m} com \sigma_h=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Calcula-se 1/h:
\frac{1}{h}=\frac{1}{2,00}=0,50\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Calcula-se \sigma_{1/h}:
\sigma_{1/h}=\frac{\sigma_h}{h^{2}}=\frac{0,10}{(2,00)^{2}}=\frac{0,10}{4,00}=0,025\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Arredondamento prático: normalmente escreve-se a incerteza com 1 ou 2 algarismos significativos (a escolha pode depender da convenção do seu curso). Se escolher 1 algarismo significativo, \sigma_{1/h}=0,03\\ \mathrm{m}^{-1}. Então a mantissa deve ser arredondada para a mesma casa decimal:
\frac{1}{h} = 0,50 \pm 0,03\\ \mathrm{m}^{-1}.
Se preferir manter 2 algarismos na incerteza, use 0,025 e escreva 0,500 \pm 0,025\\ \mathrm{m}^{-1}. Sempre alinhe casas decimais entre valor e incerteza.

Passo 7

Instruções práticas para preencher sua tabela:
  • Para cada linha i da tabela com h_i e \sigma_{h_i}:
    1. Calcule y_i = 1/h_i.
    2. Calcule \sigma_{y_i} = \sigma_{h_i}/h_i^{2}.
    3. Anote y_i na coluna 5 usando a unidade \mathrm{U}^{-1}.
    4. Anote \sigma_{y_i} na coluna 6 com a mesma unidade.
    5. Faça o arredondamento da incerteza para 1–2 algarismos significativos e arredonde y_i à mesma casa decimal da incerteza.

Passo 8

Demonstração curta (do ponto de vista de cálculo diferencial), para fixar:
y(h)=h^{-1}\quad\Rightarrow\quad dy = -h^{-2} \, dh.
Tomando amplitudes (incertezas small):
\sigma_y \approx |dy| = \frac{\sigma_h}{h^{2}}.
É exatamente a fórmula usada acima.

Resposta

Coluna 5 (inverso): \displaystyle \frac{1}{h} (unidade: \mathrm{U}^{-1}, onde \mathrm{U} é a unidade de h).
Coluna 6 (incerteza do inverso): \displaystyle \sigma_{1/h}=\frac{\sigma_h}{h^{2}} (unidade: \mathrm{U}^{-1}).
Não é possível fornecer os valores numéricos solicitados porque a tabela 1 com os valores de h, suas incertezas \sigma_h e a unidade de h não foi fornecida.

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