Problema 9. (11.22 Beer). Iniciando a partir de v=0 sem velocidade inicial, uma partícula recebe uma aceleração a=-0.1 \sqrt{v^{2}+16}, onde a e v são expressos \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{e} \mathrm{m} / \mathrm{s}, respectivamente. Determine
a posição da partícula quando v=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A aceleração é a=-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}, onde a está em \mathrm{m/s^{2}} e v em \mathrm{m/s}.
  • A partícula parte de repouso: v=0 no instante inicial.
  • Pede-se: determinar a posição da partícula quando v=20\\ \mathrm{m/s}.
  • Não foi dada uma posição inicial explícita; vou tomar a posição inicial como referência x=0 quando v=0. Assim vou calcular x correspondente a v=20 medido a partir dessa referência (ou seja, vou encontrar \Delta x = x(20)-x(0)).

Passo 2

Relacionando aceleração, velocidade e posição: lembre que a aceleração é a derivada temporal da velocidade,
a=\frac{dv}{dt}.
Também a velocidade é a derivada temporal da posição,
v=\frac{dx}{dt}.
Usando a regra da cadeia podemos escrever
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Portanto, para movimento unidimensional vale a identidade útil
a=v\frac{dv}{dx}.
Isto nos permite transformar uma equação que dá a em função de v numa equação diferencial separável entre x e v.

Passo 3

Substituindo a expressão dada para a na identidade obtemos a equação entre v e x:
v\frac{dv}{dx}=-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}.
Isolando dx em função de v temos
dx=\frac{v}{-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}}\,dv.
Agora vamos integrar para obter a variação de posição entre o estado inicial ( v=0, x=0) e o estado desejado ( v=20, x=\\ ?).

Passo 4

Escrevemos a integral definida para a posição x correspondente a v=20 (com x(0)=0):
x=\int_{x(0)=0}^{x(20)} dx=\int_{v=0}^{v=20}\frac{v}{-0{,}1\sqrt{v^{2}+16}}\,dv.
Fatorando a constante -0{,}1 obtemos
x=-\frac{1}{0{,}1}\int_{0}^{20}\frac{v}{\sqrt{v^{2}+16}}\,dv.
Como \dfrac{1}{0{,}1}=10, isso fica
x=-10\int_{0}^{20}\frac{v}{\sqrt{v^{2}+16}}\,dv.

Passo 5

Avaliação da integral. Reconheça que a primitiva de \dfrac{v}{\sqrt{v^{2}+16}} é \sqrt{v^{2}+16}, porque
\frac{d}{dv}\sqrt{v^{2}+16}=\frac{1}{2}(v^{2}+16)^{-1/2}\cdot 2v=\frac{v}{\sqrt{v^{2}+16}}.
Portanto
\int_{0}^{20}\frac{v}{\sqrt{v^{2}+16}}\,dv=\Big[\sqrt{v^{2}+16}\Big]_{0}^{20}=\sqrt{20^{2}+16}-\sqrt{0^{2}+16}.
Calcule os radicais:
\sqrt{20^{2}+16}=\sqrt{400+16}=\sqrt{416}=4\sqrt{26}, \qquad \sqrt{0^{2}+16}=4.
Logo a integral vale 4\sqrt{26}-4=4(\sqrt{26}-1).

Passo 6

Voltando para x:
x=-10\cdot 4(\sqrt{26}-1)=-40(\sqrt{26}-1).
Esse é o deslocamento a partir da posição inicial x(0)=0. Podemos também dar a aproximação numérica:
\sqrt{26}\approx 5{,}0990195\quad\Rightarrow\quad x\approx -40(5{,}0990195-1) \approx -163{,}9608\\ \mathrm{m}.
Interpretação do sinal: x ficou negativo porque a aceleração dada é negativa, isto é, a partícula se move no sentido negativo do eixo adotado; matematicamente o deslocamento desde v=0 até v=20 (conforme o sinal da aceleração) é -40(\sqrt{26}-1) metros.

Resposta

-40(\sqrt{26}-1)\\ \mathrm{m}\approx -163{,}96\\ \mathrm{m}

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