Problema 9. (11.22 Beer). Iniciando a partir de
sem velocidade inicial, uma partícula recebe uma aceleração
, onde
e
são expressos
, respectivamente. Determine
a posição da partícula quando
a posição da partícula quando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- A aceleração é
, onde está em e em . - A partícula parte de repouso:
no instante inicial. - Pede-se: determinar a posição da partícula quando
. - Não foi dada uma posição inicial explícita; vou tomar a posição inicial como referência
quando . Assim vou calcular correspondente a medido a partir dessa referência (ou seja, vou encontrar ).
Passo 2
Relacionando aceleração, velocidade e posição: lembre que a aceleração é a derivada temporal da velocidade,
Também a velocidade é a derivada temporal da posição,
Usando a regra da cadeia podemos escrever
Portanto, para movimento unidimensional vale a identidade útil
Isto nos permite transformar uma equação que dá
em função de
numa equação diferencial separável entre
e
.
Passo 3
Substituindo a expressão dada para
na identidade obtemos a equação entre
e
:
Isolando
em função de
temos
Agora vamos integrar para obter a variação de posição entre o estado inicial (
,
) e o estado desejado (
,
).
Passo 4
Escrevemos a integral definida para a posição
correspondente a
(com
):
Fatorando a constante
obtemos
Como
, isso fica
Passo 5
Avaliação da integral. Reconheça que a primitiva de
é
, porque
Portanto
Calcule os radicais:
Logo a integral vale
.
Passo 6
Voltando para
:
Esse é o deslocamento a partir da posição inicial
. Podemos também dar a aproximação numérica:
Interpretação do sinal:
ficou negativo porque a aceleração dada é negativa, isto é, a partícula se move no sentido negativo do eixo adotado; matematicamente o deslocamento desde
até
(conforme o sinal da aceleração) é
metros.