(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão |r|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline Pressão $(x)$ & 1.02 & 2.08 & 2.89 & 4.01 & 5.32 & 5.83 & 7.26 & 7.96 & 9.11 & 9.99 hline Fluxo $(y)$ & 1.15 & 0.85 & 1.56 & 1.72 & 4.32 & 5.07 & 5.00 & 5.31 & 6.17 & 7.04 hline 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
c) Represente a reta de regressão no gráfico feito anteriormente.

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício sobre um processo de purificação da água usando filtração por membrana. A ideia é descobrir como a pressão na membrana está relacionada com o fluxo da água que passa por ela. Para isso, temos uma tabela com valores de pressão (x) e fluxo (y). Nosso objetivo aqui é traçar a reta de regressão nesse gráfico, ou seja, encontrar uma linha que melhor representa essa relação entre pressão e fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta de regressão. Basicamente, é uma linha que tenta ajustar os melhores dados possíveis entre duas variáveis, nesse caso, pressão (x) e fluxo (y). A fórmula geral da reta de regressão é:
y = a + b cdot x
Onde:
  • é o fluxo,
  • é a pressão,
  • é o intercepto (valor de quando ),
  • é o coeficiente angular (quanto muda quando aumenta uma unidade).

Passo 3

Para encontrar e , precisamos calcular alguns valores a partir dos dados que temos. Vamos precisar das seguintes somas:
  • Soma de todos os valores de ( ),
  • Soma de todos os valores de ( ),
  • Soma do produto de e para cada par ( ),
  • Soma dos quadrados dos valores de ( ),
  • Número total de dados ( ).

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos:
|c|c|c| hline Pressão (x) & Fluxo (y) & x cdot y hline 1.02 & 1.15 & 1.173 2.08 & 0.85 & 1.768 2.89 & 1.56 & 4.520 4.01 & 1.72 & 6.893 5.32 & 4.32 & 22.94 5.83 & 5.07 & 29.55 7.26 & 5.00 & 36.30 7.96 & 5.31 & 42.27 9.11 & 6.17 & 56.14 9.99 & 7.04 & 70.29 hline ã
Agora, somamos cada coluna:
sum x = 1.02 + 2.08 + 2.89 + 4.01 + 5.32 + 5.83 + 7.26 + 7.96 + 9.11 + 9.99 = 54.42
sum y = 1.15 + 0.85 + 1.56 + 1.72 + 4.32 + 5.07 + 5.00 + 5.31 + 6.17 + 7.04 = 37.19
sum xy = 1.173 + 1.768 + 4.520 + 6.893 + 22.94 + 29.55 + 36.30 + 42.27 + 56.14 + 70.29 = 260.03
sum x^2 = (1.02)^2 + (2.08)^2 + (2.89)^2 + (4.01)^2 + (5.32)^2 + (5.83)^2 + (7.26)^2 + (7.96)^2 + (9.11)^2 + (9.99)^2
Calculando cada termo:
1.02^2 = 1.0404 2.08^2 = 4.3264 2.89^2 = 8.3521 4.01^2 = 16.0801 5.32^2 = 28.3024 5.83^2 = 33.9889 7.26^2 = 52.7076 7.96^2 = 63.3616 9.11^2 = 83.0081 9.99^2 = 99.8001
Somando todos:
sum x^2 = 1.0404 + 4.3264 + 8.3521 + 16.0801 + 28.3024 + 33.9889 + 52.7076 + 63.3616 + 83.0081 + 99.8001 = 390.876
E o número total de dados .

Passo 5

Agora, vamos usar as fórmulas para encontrar b = n cdot sum xy - sum x cdot sum yn cdot sum x^2 - (sum x)^2 (coeficiente angular) e a = sum y - b cdot sum xn (intercepto):
b = 10 cdot 260.03 - 54.42 cdot 37.1910 cdot 390.876 - (54.42)^2
10 cdot 260.03 = 2600.3 54.42 cdot 37.19 approx 2021.55 2600.3 - 2021.55 approx 578.75
Substituindo os valores que calculamos:
10 cdot 390.876 = 3908.76 (54.42)^2 approx 2953.3 3908.76 - 2953.3 approx 955.46
Calculando o numerador:
b = 578.75955.46 approx 0.606
Calculando o denominador:
a = 37.19 - 0.606 cdot 54.4210 = 37.19 - 32.8810 = 4.3110 approx 0.431
Então,
Agora, calculando :

Resposta

A reta de regressão que relaciona a pressão y = 0.431 + 0.606 cdot x com o fluxo é:

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