(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão
1.02
2.08
2.89
4.01
5.32
5.83
7.26
7.96
9.11
9.99
Fluxo
1.15
0.85
1.56
1.72
4.32
5.07
5.00
5.31
6.17
7.04
f) A regressão linear obtida é uma boa representação dos dados? Justifique.
Pressão
|
1.02 | 2.08 | 2.89 | 4.01 | 5.32 | 5.83 | 7.26 | 7.96 | 9.11 | 9.99 |
Fluxo
|
1.15 | 0.85 | 1.56 | 1.72 | 4.32 | 5.07 | 5.00 | 5.31 | 6.17 | 7.04 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a regressão linear que obtemos é uma boa representação dos dados do experimento de filtração por membrana. Ou seja, queremos ver se a relação entre a pressão na membrana (x) e o fluxo por área (y) pode ser bem descrita por uma linha reta. Para resolver isso, vamos usar a análise de regressão linear e verificar o coeficiente de determinação
, que nos ajuda a entender o quão bem a linha se ajusta aos dados.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular alguns valores essenciais para montar a nossa regressão linear. Vamos calcular:
- A média de
( ) - A média de
( ) - A soma dos produtos
( ) - A soma dos quadrados de
( ) - A soma dos quadrados de
( )
Esses cálculos são fundamentais para determinar os coeficientes da nossa reta de regressão.
Passo 3
Com os valores calculados, podemos determinar os coeficientes
(intercepto) e
(inclinação) da nossa reta de regressão usando as fórmulas:
Onde
é o número de pontos de dados.
Passo 4
Depois de obter
e
, nossa equação da reta fica:
Agora, para verificar se essa linha representa bem os dados, vamos calcular o coeficiente de determinação
, que indica a proporção da variabilidade em
que é explicada por
. A fórmula é:
Passo 5
Com o valor de
calculado, interpretamos o resultado:
- Se
estiver próximo de 1, significa que a regressão linear explica bem a variação dos dados. - Se estiver próximo de 0, a regressão linear não é uma boa representação.
Além disso, podemos analisar graficamente os resíduos (diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela regressão) para ver se há padrões que indicam que a linearidade não é adequada.
Resposta
Após calcularmos o coeficiente de determinação
e analisarmos os resíduos, verificamos que
é alto (próximo a 1), indicando que a regressão linear explica bem a variação dos dados. Além disso, os resíduos não apresentam padrões significativos, confirmando que a relação entre pressão e fluxo é bem representada por uma linha reta. Portanto, a regressão linear obtida é uma boa representação dos dados.