1. (2,5 pontos) Prove o seguinte:
    (a) ( 0,5 ponto) Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível, então M é a matriz identidade.
    (b) ( 0,5 ponto) Se P é uma matriz de permutação m \times m e A é n \times m, então A P é a matriz A com suas colunas permutadas de acordo \operatorname{com} P. Se p_{k j}=1, então a j-ésima coluna de A P será a k-ésima coluna de A.
    (c) (0,5 ponto ) \operatorname{det}\left(S^{-1} A S\right)=\operatorname{det}(A).
    (d) (0,5 ponto) Sejam A e B duas matrizes n \times n. Se A B=-B A, \operatorname{então~} \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B) \neq -\operatorname{det}(B) \operatorname{det}(A) para n par.
    (e) \left(0,5\right. ponto) se A^{T} A=I, então \operatorname{det}(A)= \pm 1.

Passo 1

O enunciado pede cinco mini-provas sobre matrizes quadradas, envolvendo idempotência e invertibilidade, permutação de colunas via matriz de permutação, invariância de determinante por similaridade, consequência de anticomutação em ordem par e determinante de matriz ortogonal. Vamos usar propriedades básicas de multiplicação de matrizes, da função determinante \det(AB)=\det(A)\det(B), e de matrizes transpostas.

Passo 2

Provar que, se M é quadrada, idempotente M^2=M e invertível, então M=I.
Como M é invertível, multiplica-mos a equação M^2=M à esquerda por M^{-1}:
M^{-1}M^2 = M^{-1}M
(M^{-1}M)M = I
I\,M = I
M = I.

Passo 3

Mostrar que, para P matriz de permutação m\times m e A de tamanho n\times m, o produto AP é A com colunas permutadas.
Escrevendo A=[A_1\;\dots\;A_m] em colunas e P=(p_{kj}), a j-ésima coluna de AP vale
\bigl(AP\bigr)_j \;=\;\sum_{k=1}^m A_k\,p_{kj}.
Como em P cada coluna tem exatamente um 1 em alguma linha k, se p_{kj}=1 então
\bigl(AP\bigr)_j = A_k,
isto é, a coluna j de AP é a coluna k de A.

Passo 4

Provar \det(S^{-1}AS)=\det(A).
Usamos a multiplicatividade do determinante:
\det(S^{-1}AS) =\det(S^{-1})\,\det(A)\,\det(S) =\det(S)^{-1}\,\det(A)\,\det(S) =\det(A).

Passo 5

Se A e B são n\times n e AB=-BA, mostrar que, para n par, \det(A)\det(B)\neq -\det(B)\det(A).
Calculamos \det(AB) de duas formas:
\det(AB)=\det(A)\det(B),
\det(AB)=\det(-BA)=(-1)^n\det(BA)=(-1)^n\det(B)\det(A).
Para n par, (-1)^n=1, logo \det(A)\det(B)=\det(B)\det(A) não pode ser igual ao seu oposto -\det(B)\det(A).

Passo 6

Se A^T A=I, provar que \det(A)=\pm1.
Tomando determinante em ambos os lados:
\det(A^T A)=\det(I)=1.
Como \det(A^T A)=\det(A^T)\det(A)=\det(A)\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^2, obtemos
\bigl(\det(A)\bigr)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=\pm1.

Resposta

(a) M=I.
(b) A coluna j de AP é a coluna k de A sempre que p_{kj}=1.
(c) \det(S^{-1}AS)=\det(A).
(d) Para n par, \det(A)\det(B)\neq-\det(B)\det(A).
(e) Se A^T A=I, então \det(A)=\pm1.

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