1. ( 3,0 pontos) As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
    (a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\ x & 5\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
    (c) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 1 & 2 \\\\ 3 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
    (d) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (e) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 4 & 3 \\\\ 2 & 6 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (f) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá seis matrizes que são matrizes de coeficientes de sistemas lineares e pede, para cada uma, os valores de x e y que garantem certas categorias de solução (única, nenhuma, infinitas). Para isso vamos usar dois conceitos principais:
– Em sistemas quadrados, uma única solução para todo \boldsymbol b ocorre se e somente se \det\neq0.
– Em sistemas não quadrados ou sobredeterminados/subdeterminados, classificamos pelo posto \rank da matriz:
  • Se \rank(A)= nº de colunas, então, se consistente, há solução única; se \rank(A)< nº de colunas, há infinitas (se consistente).
  • Para consistência para todo \boldsymbol b\in\R^m (no caso m equações), precisamos \rank(A)=m.
    Com isso, aplicaremos determinantes de menores 2\times 2 e cálculo de posto.

Passo 2

(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\x&5\end{pmatrix}.
Para ter única solução para todo \boldsymbol b, é preciso
\det(A)=2\cdot5-3x=10-3x\neq0\;\Longrightarrow\;x\neq\frac{10}{3}\,.

Passo 3

(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&x\\\ 2&1\\\ 1&y\end{pmatrix}.
É um sistema 3\times2. Para que haja só nenhuma ou infinitas soluções (nunca única), precisamos \rank(A)<2, isto é \rank(A)=1. Logo todos os menores 2\times2 devem ser zero:
\det\begin{pmatrix}3&x\\\ 2&1\end{pmatrix}=3-2x=0\;\Rightarrow\;x=\tfrac32,
\det\begin{pmatrix}3&x\\\ 1&y\end{pmatrix}=3y-x=0\;\Rightarrow\;y=\tfrac12,
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&y\end{pmatrix}=2y-1=0\;\Rightarrow\;y=\tfrac12.
Assim x=\tfrac32 e y=\tfrac12.

Passo 4

(c) \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&2\\\ 3&x\end{pmatrix}.
Também é 3\times2. Queremos só nenhuma ou única solução, evitando infinitas; infinitas ocorreriam se \rank(A)<2. Logo exigimos \rank(A)=2. Note que o menor das linhas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&2\end{pmatrix}=6-1=5\neq0,
portanto \rank(A)=2 para qualquer x.

Passo 5

(d) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4&x\\\ 3&y&1\end{pmatrix}.
É um sistema 2\times3. Para ter infinitas soluções para todo \boldsymbol b\in\R^2, precisamos \rank(A)=2 (consistência garantida). Isso equivale a dizer que as duas linhas não são proporcionais. Se existisse t tal que (2,4,x)=t\,(3,y,1), teríamos t=2/3, depois 4=ty\Rightarrow y=6 e x=t=2/3.
Portanto basta evitar esse caso. Ou seja, qualquer par (x,y) diferente de \bigl(\tfrac23,6\bigr) garante \rank(A)=2 e, assim, infinitas soluções para todo \boldsymbol b.

Passo 6

(e) \displaystyle A=\begin{pmatrix}x&4&3\\\ 2&6&y\end{pmatrix}.
Também é 2\times3. Queremos só 0 ou infinitas soluções, nunca única. Como única não existe quando n>m, basta garantir que nem sempre seja consistente; isso ocorre se \rank(A)<2. Logo \rank(A)=1 e as linhas são proporcionais: (2,6,y)=t\,(x,4,3). Do 2.º componente vem t=6/4=3/2. Então
2=\tfrac32\,x\;\Rightarrow\;x=\tfrac43,\qquad y=\tfrac32\cdot3=\tfrac92.

Passo 7

(f) \displaystyle A=\begin{pmatrix}0&x&4\\\ 1&2&1\\\ 1&4&3\end{pmatrix}.
É 3\times3. Para ter 0 ou infinitas soluções (nunca única), basta \det(A)=0. Calculando:
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&3\end{pmatrix} - x\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&3\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&4\end{pmatrix} =-2x+8.
Igualando a zero vem x=4.

Resposta

(a) x\neq\frac{10}{3}
(b) x=\tfrac{3}{2},\;y=\tfrac{1}{2}
(c) qualquer x\in\R
(d) (x,y)\neq\bigl(\tfrac{2}{3},6\bigr)
(e) x=\tfrac{4}{3},\;y=\tfrac{9}{2}
(f) x=4

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