( 3,0 pontos) As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\ x & 5\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
(c) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 1 & 2 \\\\ 3 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
(d) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(e) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 4 & 3 \\\\ 2 & 6 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(f) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá seis matrizes que são matrizes de coeficientes de sistemas lineares e pede, para cada uma, os valores de x e y que garantem certas categorias de solução (única, nenhuma, infinitas). Para isso vamos usar dois conceitos principais:
– Em sistemas quadrados, uma única solução para todo \boldsymbol b ocorre se e somente se \det\neq0.
– Em sistemas não quadrados ou sobredeterminados/subdeterminados, classificamos pelo posto \rank da matriz:
Se \rank(A)= nº de colunas, então, se consistente, há solução única; se \rank(A)< nº de colunas, há infinitas (se consistente).
Para consistência para todo \boldsymbol b\in\R^m (no caso m equações), precisamos \rank(A)=m.
Com isso, aplicaremos determinantes de menores 2\times 2 e cálculo de posto.
Passo 2
(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\x&5\end{pmatrix}.
Para ter única solução para todo \boldsymbol b, é preciso
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&x\\\ 2&1\\\ 1&y\end{pmatrix}.
É um sistema 3\times2. Para que haja só nenhuma ou infinitas soluções (nunca única), precisamos \rank(A)<2, isto é \rank(A)=1. Logo todos os menores 2\times2 devem ser zero:
(c) \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&2\\\ 3&x\end{pmatrix}.
Também é 3\times2. Queremos só nenhuma ou única solução, evitando infinitas; infinitas ocorreriam se \rank(A)<2. Logo exigimos \rank(A)=2. Note que o menor das linhas 1 e 2 é
(d) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4&x\\\ 3&y&1\end{pmatrix}.
É um sistema 2\times3. Para ter infinitas soluções para todo \boldsymbol b\in\R^2, precisamos \rank(A)=2 (consistência garantida). Isso equivale a dizer que as duas linhas não são proporcionais. Se existisse t tal que (2,4,x)=t\,(3,y,1), teríamos t=2/3, depois 4=ty\Rightarrow y=6 e x=t=2/3.
Portanto basta evitar esse caso. Ou seja, qualquer par (x,y) diferente de \bigl(\tfrac23,6\bigr) garante \rank(A)=2 e, assim, infinitas soluções para todo \boldsymbol b.
Passo 6
(e) \displaystyle A=\begin{pmatrix}x&4&3\\\ 2&6&y\end{pmatrix}.
Também é 2\times3. Queremos só 0 ou infinitas soluções, nunca única. Como única não existe quando n>m, basta garantir que nem sempre seja consistente; isso ocorre se \rank(A)<2. Logo \rank(A)=1 e as linhas são proporcionais: (2,6,y)=t\,(x,4,3). Do 2.º componente vem t=6/4=3/2. Então
(f) \displaystyle A=\begin{pmatrix}0&x&4\\\ 1&2&1\\\ 1&4&3\end{pmatrix}.
É 3\times3. Para ter 0 ou infinitas soluções (nunca única), basta \det(A)=0. Calculando: