- (2,5 pontos) Prove o seguinte:
(a) ( 0,5 ponto) Se
é uma matriz quadrada idempotente invertível, então
é a matriz identidade.
(b) ( 0,5 ponto) Se
é uma matriz de permutação
e
é
, então
é a matriz
com suas colunas permutadas de acordo
. Se
, então a j-ésima coluna de
será a k-ésima coluna de
.
(c)
ponto
.
(d) (0,5 ponto) Sejam
e
duas matrizes
. Se
,
para
par.
(e)
ponto) se
, então
.
(a) ( 0,5 ponto) Se
(b) ( 0,5 ponto) Se
(c)
(d) (0,5 ponto) Sejam
(e)
Passo 1
O enunciado pede cinco mini-provas sobre matrizes quadradas, envolvendo idempotência e invertibilidade, permutação de colunas via matriz de permutação, invariância de determinante por similaridade, consequência de anticomutação em ordem par e determinante de matriz ortogonal. Vamos usar propriedades básicas de multiplicação de matrizes, da função determinante
, e de matrizes transpostas.
Passo 2
Provar que, se
é quadrada, idempotente
e invertível, então
.
Como é invertível, multiplica-mos a equação
à esquerda por
:
Como
Passo 3
Mostrar que, para
matriz de permutação
e
de tamanho
, o produto
é
com colunas permutadas.
Escrevendo em colunas e
, a
-ésima coluna de
vale
Escrevendo
Como em
cada coluna tem exatamente um 1 em alguma linha
, se
então
isto é, a coluna
de
é a coluna
de
.
Passo 4
Provar
.
Usamos a multiplicatividade do determinante:
Usamos a multiplicatividade do determinante:
Passo 5
Se
e
são
e
, mostrar que, para
par,
.
Calculamos de duas formas:
Calculamos
Para
par,
, logo
não pode ser igual ao seu oposto
.
Passo 6
Se
, provar que
.
Tomando determinante em ambos os lados:
Tomando determinante em ambos os lados:
Como
, obtemos
Resposta
(a)
.
(b) A coluna de
é a coluna
de
sempre que
.
(c) .
(d) Para par,
.
(e) Se , então
.
(b) A coluna
(c)
(d) Para
(e) Se