Pontos Quânticos (do inglês, quantum dots) são dispositivos semicondutores nanométricos e, devido as suas dimensões, exibem propriedades ópticas e elétricas que diferem das propriedades apresentadas pelos semicondutores de tamanho macroscópico. Seu comportamento físico pode ser modelado aproximadamente por um poço unidimensional de potencial de paredes infinitamente altas. Considere um elétron ( m=9,11 times 10^-31 kg) que está confinado em um ponto quântico e, ao transitar do estado com n2=9 para o n1=4, emite um fóton de comprimento de onda lambda=474,5 nm. Qual é a largura deste ponto quântico quando o modelamos como um poço unidimensional infinito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre Pontos Quânticos, que são tipo uns “pouquinhos” semicondutores com tamanho nanométrico. Por serem tão pequenos, eles têm propriedades ópticas e elétricas diferentes dos semicondutores normais. A gente vai modelar esse ponto quântico como um poço de potencial unidimensional com paredes infinitamente altas. O que isso significa? Que o elétron está preso nesse poço e só pode ocupar certos níveis de energia.
Nosso objetivo aqui é descobrir a largura desse poço quando um elétron passa do nível de energia $ n_2 = 9 $ para $ n_1 = 4 $ e emite um fóton com comprimento de onda $ \lambda = 474,5 $ nm. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas dos níveis de energia em um poço quântico e a relação entre a energia do fóton e seu comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para os níveis de energia de um elétron em um poço de potencial unidimensional com paredes infinitamente altas. A energia dos níveis é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Onde:
  • $ E_n $ é a energia do nível $ n $
  • $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …)
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $)
  • $ m $ é a massa do elétron ($ 9,11 \times 10^{-31} $ kg)
  • $ L $ é a largura do poço que queremos encontrar

Passo 3

Quando o elétron faz a transição do nível $ n_2 = 9 $ para $ n_1 = 4 $, a energia liberada é a diferença entre as energias desses dois níveis. Essa energia liberada é a energia do fóton emitido, que está relacionada ao comprimento de onda $ \lambda $ pelo seguinte:
n2 = 9 ó
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s)
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{8} $ m/s)
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda do fóton

Passo 4

Vamos igualar a diferença de energia dos níveis ao da energia do fóton:
En2 - En1 = h clambda
Substituindo a fórmula dos níveis de energia:
n2^2 pi^2 hbar^22 m L^2 - n1^2 pi^2 hbar^22 m L^2 = h clambda
Fatorando:
pi^2 hbar^22 m L^2 (n2^2 - n1^2) = h clambda

Passo 5

Agora, queremos resolver para $ L $. Vamos reorganizar a equação:
L
Simplificando:
L^2 = pi^2 hbar^2 (n2^2 - n1^2)2 m cdot h clambda
E então:
L^2 = pi^2 hbar^2 lambda (n2^2 - n1^2)2 m h c

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos:
  • $ \hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{6,626 \times 10^{-34}}{2 \pi} $ J·s
  • $ n_2 = 9 $
  • $ n_1 = 4 $
  • $ \lambda = 474,5 $ nm = $ 474,5 \times 10^{-9} $ m
  • $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg
  • $ c = 3,00 \times 10^{8} $ m/s
Calculando $ \hbar $:
hbar = h2pi = 6,626 times 10^-342 pi

Passo 7

Vamos calcular $ n_2^2 - n_1^2 $:
n2^2 - n1^2
Agora, substituindo todos os valores na fórmula de $ L $:
n2^2 - n1^2 = 9^2 - 4^2 = 81 - 16 = 65

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, o numerador:
pi^2 times (1,054 times 10^-34)^2 times 474,5 times 10^-9 times 65
Calculando $ (1,054 \times 10{-34})2 $:
(1,054 times 10^-34)^2
Multiplicando por $ \pi^2 \approx 9,8696 $:
(1,054 times 10^-34)^2 approx 1,1116 times 10^-68
Multiplicando por $ 474,5 \times 10^{-9} $:
pi^2 approx 9,8696
Multiplicando por 65:
9,8696 times 1,1116 times 10^-68 approx 1,096 times 10^-67
Agora, o denominador:
474,5 times 10^-9
Multiplicando os números:
1,096 times 10^-67 times 474,5 times 10^-9 approx 5,199 times 10^-74
Multiplicando as potências de 10:
5,199 times 10^-74 times 65 approx 3,379 times 10^-72
Então, o denominador é:
2 times 9,11 times 10^-31 times 6,626 times 10^-34 times 3,00 times 10^8

Passo 9

Agora, substituindo de volta na fórmula de $ L $:
L

Resposta

A largura do ponto quântico é aproximadamente 3,06 nanômetros.

Exercícios relacionados