(4,0 pontos) Questã 02: Dado o PVI
y^prime=x e^x-x y-2 yx, y(2)=e5
Calcule y(4) por pelo menos 3 métodos visto em aula, considere h=0,5. Trabalhe com 6 casas decimais e arredondamento.
Resposta:

Passo 1

Temos o PVI
y'=x e^x-x y-2 yx, y(2)=e5,
ou seja
f(x,y)=e^x - yl(1+2xr),
e queremos aproximar y(4) em passos de h=0,5 usando pelo menos três métodos numéricos: Euler explícito, Heun (Euler melhorado) e Runge–Kutta de 4ª ordem. Em todos os cálculos arredondamos para 6 casas decimais a cada iteração.

Passo 2

Método de Euler explícito
yn+1 = yn + h,f(xn,yn), h=0,5, y0=y(2)=e5approx0,543656
Calculando sucessivamente para xn=2,2,5,3,3,5,4:
f0&=e^2-2y0=7,389056-1,087312=6,301744, y1&=0,543656+0,5times6,301744=3,694528; f1&=e^2,5-y1,(1+0,8)=12,182494-6,650150=5,532344, y2&=3,694528+0,5times5,532344=6,460700; f2&=e^3-y2,(1+0,tfrac23)=20,085537-10,767833=9,317704, y3&=6,460700+0,5times9,317704=11,119552; f3&=e^3,5-y3,(1+0,571429)=33,115452-17,473582=15,641870, y4&=11,119552+0,5times15,641870=18,940487

Passo 3

Método de Heun (Euler melhorado)
tilde yn+1=yn+h,f(xn,yn), yn+1=yn+h2l[f(xn,yn)+fl(xn+1,tilde yn+1r)r]
Com y0approx0,543656 e h=0,5 obtemos
y1&=0,543656+tfrac0,52(6,301744+5,532344)=3,502178, y2&=3,502178+tfrac0,52(5,878574+9,349762)=7,309262, y3&=7,309262+tfrac0,52(7,903434+15,419628)=13,140028, y4&=13,140028+tfrac0,52(12,455412+25,546549)=22,640518

Passo 4

Método de Runge–Kutta de 4ª ordem
k1&=f(xn,yn), k2&=fl(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r), k3&=fl(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k2r), k4&=fl(xn+h,,yn+h,k3r), yn+1&=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)
Iterando de x=2 até 4 com h=0,5 e y0approx0,543656 resulta
y1&=3,455094, y2&=6,971052, y3&=12,390848, y4&=21,297347

Resposta

Euler explícito: y(4)approx18,940487
Heun (Euler melhorado): y(4)approx22,640518
Runge–Kutta 4ª ordem: y(4)approx21,297347

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