(3,0 pontos) Questão 3 - Novamende, considere a situação descrita na questão 1 , usado a simplificação de que uma particula qualquer move-se apenas na direção x, de modo que \boldsymbol{V}_{x}=\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V}_{y}=\mathbf{0} e \boldsymbol{V}_{z}=\mathbf{0}. O que resulta em única equação para a transformação de velocidades:
V^{\prime}=\frac{(V-v)}{1-v V / c^{2}}
a) (1,5 pontos) Encontre o valor de V a partir de v=0,4 \mathrm{c} e V^{\prime}=0,4 \mathrm{c} utilizando a equação acima. A transformação clássica de velocidades produziria um valor de V incoerente com a teoria da relatividade, ao se comparar com a velocidade da luz c? Comente o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado dá a transformação relativística unidimensional das velocidades
V'=\frac{V-v}{1-\dfrac{vV}{c^2}}
e pede (a) determinar V quando v=0,4\,c e V'=0,4\,c; e (b) comentar se a transformação clássica de velocidades daria um valor incoerente com a teoria da relatividade ao comparar com a velocidade da luz c.
Informações relevantes fornecidas:
  • v=0,4\,c.
  • V'=0,4\,c.
  • Equação de transformação: \displaystyle V'=\frac{V-v}{1-\dfrac{vV}{c^2}}.

Passo 2

Entendendo as variáveis (para ficar bem claro):
  • \,V é a velocidade da partícula no referencial original S (o que queremos achar).
  • \,v é a velocidade do referencial S' em relação a S (a velocidade da transformação).
  • \,V' é a velocidade da partícula medida em S' (valor conhecido).
    Todas as velocidades estão ao longo do mesmo eixo x, então não há componentes transversais.

Passo 3

Isolando V na fórmula dada. Começo multiplicando ambos os lados pelo denominador:
V'\!\left(1-\frac{vV}{c^2}\right)=V-v.
Distribuindo o lado esquerdo:
V' - V'\frac{vV}{c^2}=V-v.
Agrupando os termos que contêm V num mesmo membro:
- V'\frac{vV}{c^2} - V = -V' - v.
Multiplicando por -1:
V'\frac{vV}{c^2} + V = V' + v.
Colocando V em evidência:
V\left(1 + \frac{V'v}{c^2}\right) = V' + v.
Logo a expressão invertida (forma padrão da soma relativística) é
\boxed{\,V=\frac{V'+v}{1+\dfrac{V'v}{c^2}}\,.}

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos \,v=0,4\,c e \,V'=0,4\,c:
V=\frac{0,4\,c + 0,4\,c}{1 + \dfrac{(0,4\,c)(0,4\,c)}{c^2}} =\frac{0,8\,c}{1 + 0,16} =\frac{0,8\,c}{1,16}.
Transformando em fração exata:
\frac{0,8}{1,16}=\frac{4/5}{29/25}=\frac{4}{5}\cdot\frac{25}{29}=\frac{20}{29}.
Portanto
V=\frac{20}{29}\,c\approx 0,689655\;c\approx 0,69\,c.

Passo 5

Comparação com a transformação clássica (galileana): a transformação clássica soma diretamente as velocidades,
V_{\text{clássica}}=V'+v=0,4\,c+0,4\,c=0,8\,c.á
Comentário sobre coerência com a relatividade:
  • No caso numérico dado, V_{\text{clássica}}=0,8\,cá ainda é menor que c, então não há uma violação imediata da barreira c. Assim, para estes números específicos a soma clássica não produz um valor absolutamente impossível.
  • Entretanto, a transformação relativística dá V\approx0,69\,c, menor que 0,8\,c. Isso mostra que as velocidades não se somam linearmente quando se aproximam de c: o fator no denominador reduz a soma e impede que a velocidade resultante ultrapasse c quando |v|<c e |V'|<c. Em situações diferentes (por exemplo v e V' maiores), a soma clássica poderia ultrapassar c, o que seria incoerente; a fórmula relativística corrige isso sempre.

Resposta

V=\dfrac{20}{29}\,c\approx0,69\,c
A transformação clássica daria V_{\text{clássica}}=0,8\,cá; neste caso específico esse valor não ultrapassa c, logo não é diretamente incoerente, porém a fórmula relativística é a correta: ela fornece V\approx0,69\,c e garante que velocidades combinadas nunca excedam c.

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