QUESTÃO 8
Uma fonte sonora pontual que está presa ao solo (plano horizontal), emite uma energia, ao longo de um dia, igual a 768 \pi \mathrm{kWh} (quilowatt-hora). Supondo a potência emitida constante no tempo e a propagação uniforme, calcule a intensidade sonora, \mathrm{em} \mathrm{mW} / \mathrm{m}^{2} (miliwatts por metroquadrado), num ponto distante 200 metros acima da fonte.

Passo 1

O enunciado pede a intensidade sonora no ponto situado a 200\\ \mathrm{m} acima da fonte. Dados fornecidos (pegados do enunciado):
  • Energia total emitida ao longo de um dia: E = 768\pi\\ \mathrm{kWh}.
  • A fonte está presa ao solo (plano horizontal).
  • A potência é constante no tempo.
  • A propagação é uniforme.
  • Distância do ponto à fonte: r = 200\\ \mathrm{m}.
    A tarefa concreta: calcular a intensidade sonora naquele ponto, em \mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 2

Entender a relação entre energia, potência e tempo. Definição: potência média é energia dividida pelo intervalo de tempo durante o qual a energia foi emitida. Em símbolos,
P=\frac{E}{T},
onde P é a potência (em watts, \mathrm{W}), E é a energia (em \mathrm{kWh} ou \mathrm{J}) e T é o tempo. Aqui o período é um dia: T=24\\ \mathrm{h}. Como E está em \mathrm{kWh} e T em horas, dá para obter P diretamente em \mathrm{kW}:
P=\frac{768\pi\\ \mathrm{kWh}}{24\\ \mathrm{h}}=32\pi\\ \mathrm{kW}.
Convertendo para \mathrm{W}:
P=32\pi\times 1000\\ \mathrm{W}=32000\pi\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Definir intensidade sonora. Intensidade média em um ponto à distância r de uma fonte pontual isotrópica é a potência emitida dividida pela área sobre a qual a potência se espalha:
I=\frac{P}{A}.
Agora decidir qual área usar. A fonte está presa ao solo (plano horizontal) e a propagação é uniforme: a radiação ocorre apenas para cima (metade do espaço), ou seja, sobre a superfície de uma hemisfera de raio r. A área da superfície de uma hemisfera é
A_{\text{hemis}}=2\pi r^{2}.
(Se a fonte estivesse no espaço livre emitindo em todas as direções usaríamos A=4\pi r^{2}, mas aqui o solo bloqueia/impede a emissão para baixo.)

Passo 4

Calcular a área da hemisfera para r=200\\ \mathrm{m}:
A_{\text{hemis}}=2\pi (200)^{2}=2\pi\cdot 40000=80000\pi\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Calcular a intensidade em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}:
I=\frac{P}{A_{\text{hemis}}}=\frac{32000\pi\\ \mathrm{W}}{80000\pi\\ \mathrm{m}^{2}}=\frac{32000}{80000}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=0{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Note que o fator \pi cancela.

Passo 6

Converter para \mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}. Como 1\\ \mathrm{W}=1000\\ \mathrm{mW},
I=0{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=0{,}4\times 1000\\ \mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}=400\\ \mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Verificação rápida de coerência: potência é da ordem de 10^{5}\\ \mathrm{W} (pois 32000\pi\\ \mathrm{W}\approx 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W}), área da hemisfera é da ordem de 10^{5}\\ \mathrm{m}^{2} (pois 80000\pi\approx 2{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{m}^{2}), logo intensidade da ordem de 10^{0} a 10^{−1}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} — resultado 0{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} parece consistente. Força para a prova — tá indo bem!

Resposta

\;400\\ \mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}

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