QUESTÃO 10
Uma fonte sonora pontual emite ondas sonoras isotropicamente no espaço livre. A função de onda de deslocamento da onda sonora é da forma S(x, t)=\frac{5.0 \cdot 10^{-3}}{x} \cdot \cos \left(20 \cdot x-6,6 \cdot 10^{3} t\right) (onde S está em milímetros, x em metros e t em segundos). Um pequeno detector situado a 10 m da fonte mede o nível sonoro de 80 dB . Sabendo-se que a intensidade sonora de referência, que corresponde ao limiar de audição, é de 10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, calcule a intensidade sonora \left(\mathrm{em} \mu \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right) a 50 m da fonte.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função de deslocamento: S(x,t)=\dfrac{5{,}0\cdot10^{-3}}{x}\cos\!\bigl(20\cdot x-6{,}6\cdot10^{3} t\bigr), onde S está em milímetros, x em metros e t em segundos.
  • Um detector a x=10\\ \mathrm{m} mede nível sonoro 80\\ \mathrm{dB}.
  • Intensidade sonora de referência (limiar de audição): I_0=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    O que se pede:
  • Calcular a intensidade sonora em x=50\\ \mathrm{m}, em unidades de \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 2

Relação entre nível sonoro em decibéis e intensidade. Definição:
L=10\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right),
onde L é o nível em decibéis, I a intensidade em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e I_0 a intensidade de referência. Para obter I a partir de L isolamos I:
I = I_0\cdot 10^{L/10}.
Aqui L=80\\ \mathrm{dB} e I_0=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Então a intensidade medida a 10\\ \mathrm{m} é
I(10)=10^{-12}\cdot 10^{80/10}=10^{-12}\cdot 10^{8}=10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Convertemos para \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2 lembrando que 1\\ \mu\mathrm{W}=10^{-6}\\ \mathrm{W}:
I(10)=10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2=100\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Como a fonte é pontual e emite isotropicamente no espaço livre, a potência acústica total emitida atravessa esferas concêntricas. A potência P atravessando uma esfera de raio x é a mesma para qualquer x, e a intensidade média é a potência dividida pela área da esfera:
I(x)=\dfrac{P}{4\pi x^{2}}\propto \dfrac{1}{x^{2}}.
Portanto a intensidade de um onda sonora esférica decai com o quadrado da distância: se passa de x_1 para x_2,
\dfrac{I(x_2)}{I(x_1)}=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^{2}.

Passo 4

Aplicando a lei de decaimento de intensidade entre 10\\ \mathrm{m} e 50\\ \mathrm{m}:
I(50)=I(10)\left(\dfrac{10}{50}\right)^{2}=I(10)\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2}=I(10)\cdot \dfrac{1}{25}.
Substituindo I(10)=10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2:
I(50)=\dfrac{10^{-4}}{25}=4{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Convertendo para \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2:
I(50)=4{,}0\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Verificação rápida usando a forma da função de deslocamento. A amplitude de deslocamento (em metros) é
s_m(x)=\frac{5{,}0\cdot10^{-3}}{x}\\ \text{(mm)}=\frac{5{,}0\cdot10^{-6}}{x}\\ \text{(m)}.
Logo s_m\propto 1/x, e como I\propto s_m^{2} para ondas acústicas, obtém-se novamente I\propto 1/x^{2}, o que confirma o fator 1/25 entre 10 m e 50 m usado acima.

Resposta

4{,}0\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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