1 (9 pontos) Na regulagem de maior potência, um forno de micro-ondas projeta uma potência P=437 \mathrm{~W} de micro-ondas em uma área cujas dimensões são l_{1}=0,00486 \mathrm{~m} por l_{2}=0,240 \mathrm{~m}. Considere \varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} C^{2} / N m^{2} e responda:
(a) Qual é a intensidade da radiação produzida pelo forno? (b) Calcule a amplitude de vetor campo elétrico da radiação produzida. (c) Calcule a amplitude de vetor campo magnético da radiação produzida.
(a)
(A) 3,97 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (B) 4,77 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (C) 1,06 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (D) 5,69 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (E) 2,35 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}
(F) 3,62 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (G) 8,07 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (H) 7,49 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (I) 8,84 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},
(A) 3,97 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (B) 4,77 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (C) 1,06 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (D) 5,69 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (E) 2,35 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},(F) 3,62 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (G) 8,07 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (H) 7,49 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (I) 8,84 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},
(b)
(A) 5,19 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (B) 2,25 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 1,33 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (D) 1,68 \times 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (E) 6,68 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m},
(F) 4,31 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (G) 2,76 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (H) 1,12 \times 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (I) 3,68 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m},
(A) 5,19 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (B) 2,25 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 1,33 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (D) 1,68 \times 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (E) 6,68 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m},(F) 4,31 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (G) 2,76 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (H) 1,12 \times 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (I) 3,68 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m},
(c)
(A) 3,91 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (B) 8,46 \times 10^{-6} \mathrm{~T}, (C) 6,23 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (D) 5,60 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (E) 1,98 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (F) 1,44 \times 10^{-5} \mathrm{~T},
(G) 3,02 \times 10^{-4} \mathrm{~T}, (H) 1,18 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (I) 7,01 \times 10^{-6} \mathrm{~T},
(A) 3,91 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (B) 8,46 \times 10^{-6} \mathrm{~T}, (C) 6,23 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (D) 5,60 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (E) 1,98 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (F) 1,44 \times 10^{-5} \mathrm{~T},(G) 3,02 \times 10^{-4} \mathrm{~T}, (H) 1,18 \times 10^{-5} \mathrm{~T}, (I) 7,01 \times 10^{-6} \mathrm{~T},

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a intensidade da radiação produzida pelo forno, (b) a amplitude do vetor campo elétrico da radiação e (c) a amplitude do vetor campo magnético. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
P=437\\ \text{W},
l_{1}=0,00486\\ \text{m},
l_{2}=0,240\\ \text{m},
\varepsilon_{0}=8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
Nada mais é pedido além de calcular (a), (b) e (c) com esses dados.

Passo 2

Primeiro calculemos a área sobre a qual a potência é projetada. A área é o produto das dimensões dadas:
A = l_{1}\cdot l_{2}.
Substituindo os valores:
A = 0{,}00486\times 0{,}240 = 0{,}0011664\\ \text{m}^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a intensidade média da radiação. Intensidade (ou fluxo de potência por área) é definida por
I=\frac{P}{A},
onde I é a intensidade em \mathrm{W/m^{2}}, P é a potência em \mathrm{W} e A é a área em \mathrm{m^{2}}. Usando os números:
I=\frac{437}{0{,}0011664}.
Fazendo a divisão obtemos
I \approx 3{,}75\times 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Para relacionar a intensidade com a amplitude do campo elétrico usamos a fórmula do valor médio do vetor de Poynting para uma onda eletromagnética senoidal no vácuo:
I=\langle S\rangle = \frac{1}{2} c \varepsilon_{0} E_{0}^{2},
onde c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}), \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (dada) e E_{0} é a amplitude do campo elétrico (em \mathrm{V/m}). Essa fórmula vem de que o campo elétrico é senoidal E(t)=E_{0}\cos(\omega t) e a intensidade média envolve a média de \cos^{2}, que é 1/2.
Isolando E_{0} da fórmula:
E_{0}=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_{0}}}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula para E_{0}. Primeiro calculemos c\varepsilon_{0}:
c\varepsilon_{0}=(3{,}00\times 10^{8})(8{,}85\times 10^{-12})=2{,}655\times 10^{-3}.
Agora substituímos I e calculamos:
E_{0}=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}75\times 10^{5}}{2{,}655\times 10^{-3}}} =\sqrt{2{,}8257\times 10^{8}} \approx 1{,}68\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Interpretação: esse E_{0} é a amplitude máxima do campo elétrico da onda eletromagnética na região considerada.

Passo 6

Para o campo magnético a relação entre as amplitudes no vácuo é simples:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c},
onde B_{0} está em tesla. Usando E_{0}\approx 1{,}68\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m} e c=3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
B_{0}=\frac{1{,}68\times 10^{4}}{3{,}00\times 10^{8}} \approx 5{,}60\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Resumo numérico (arredondamentos feitos com 3 algarismos significativos quando apropriado) e interpretação final: a intensidade é grande porque a área é bem pequena; a amplitude do campo elétrico calculada é da ordem de 10^{4}\\ \mathrm{V/m} e a do campo magnético da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{T}, valores consistentes entre si pela relação B_{0}=E_{0}/c.

Resposta

I\approx 3{,}75\times 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}
E_{0}\approx 1{,}68\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}
B_{0}\approx 5{,}60\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}

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