Um bloco escorrega a partir do repouso por um plano inclinado que faz um ângulo de 45^{\circ} com a horizontal. Sabendo que durante a queda a aceleração do bloco é de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e considerando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \sqrt{2}=1,4 podemos dizer que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é?

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Ângulo do plano: \theta = 45^\circ.
  • Aceleração do bloco ao descer: a = 4{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Valor fornecido: \sqrt{2} = 1{,}4.
O enunciado pede: determinar o coeficiente de atrito cinético \mu_k entre o bloco e o plano.

Passo 2

Forças atuando no bloco (vou chamar a massa do bloco de m):
  • Peso: mg, vertical para baixo.
  • Força normal: N, perpendicular ao plano, para fora da superfície.
  • Força de atrito cinético: f_k, oposta ao movimento (para cima do plano), com magnitude f_k=\mu_k N.
Essas são as informações relevantes para montar as equações do movimento.

Passo 3

Decompondo o peso em componentes paralela e perpendicular ao plano:
  • Componente do peso paralela ao plano: mg\sin\theta (puxa o bloco para baixo ao longo do plano).
  • Componente do peso perpendicular ao plano: mg\cos\theta (é compensada pela normal).
Explicando rapidinho: se você traçar um triângulo retângulo com hipotenusa mg, as projeções nos eixos paralelo e perpendicular resultam em seno e cosseno do ângulo entre o peso e o eixo perpendicular — por isso aparecem \sin\theta e \cos\theta.
Portanto a normal vale
N = mg\cos\theta.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo ao plano (escolhendo positivo para baixo do plano):
\text{soma das forças paralelas} = ma.ç
As forças paralelas são mg\sin\theta para baixo e f_k=\mu_k N para cima, então
mg\sin\theta - \mu_k N = ma.
Substituindo N = mg\cos\theta obtemos
mg\sin\theta - \mu_k (mg\cos\theta) = ma.
Podemos dividir toda a equação por mg (assumindo m\neq0) para simplificar:
\sin\theta - \mu_k\cos\theta = \frac{a}{g}.

Passo 5

Isolando \mu_k:
\mu_k\cos\theta = \sin\theta - \frac{a}{g}
\mu_k = \frac{\sin\theta - \dfrac{a}{g}}{\cos\theta}.
Para \theta = 45^\circ sabemos que \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Usando \sqrt{2}=1{,}4 dado no enunciado, temos \sin\theta=\cos\theta=\dfrac{1}{1{,}4}.
Substituindo na expressão:
\mu_k = \frac{\dfrac{1}{1{,}4} - \dfrac{a}{g}}{\dfrac{1}{1{,}4}}.

Passo 6

Fazendo as contas numericamente com a=4{,}0 e g=10:
Primeiro calcule \dfrac{g}{\sqrt{2}} = \dfrac{10}{1{,}4} = \dfrac{50}{7} (usei a divisão para deixar em fração).
Então
\dfrac{1}{1{,}4} = \dfrac{10}{14} = \dfrac{5}{7},
mas seguiremos a forma que dá cancelamento direto:
\mu_k = \frac{\dfrac{1}{1{,}4} - \dfrac{4{,}0}{10}}{\dfrac{1}{1{,}4}} = 1 - \frac{4{,}0}{10}\cdot 1{,}4.
Calculando \dfrac{4{,}0}{10}\cdot 1{,}4 = 0{,}4\cdot 1{,}4 = 0{,}56, então
\mu_k = 1 - 0{,}56 = 0{,}44.
Outra forma (frações) — para conferir: \dfrac{g}{\sqrt{2}}=\dfrac{50}{7}, então
\mu_k = \frac{\dfrac{50}{7}-4}{\dfrac{50}{7}} = \frac{\dfrac{22}{7}}{\dfrac{50}{7}}=\frac{22}{50}=0{,}44.

Passo 7

Interpretação rápida e ânimo: o coeficiente de atrito cinético encontrado é \mu_k=0{,}44. Isso significa que o atrito reduz a componente do peso ao longo do plano de forma que a aceleração resultante seja 4{,}0\\ \mathrm{m/s^2}. Você chegou lá seguindo força peso, normal, atrito e a segunda lei — o caminho padrão que cai em prova.

Resposta

\mu_k = 0{,}44

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