Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^{k-1} 3^{k+1}}{k^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^{k-1} 3^{k+1}}{k^{k}}.
Informações dadas que são relevantes:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{k}=\frac{2^{k-1}3^{k+1}}{k^{k}}.
  • A soma começa em k=2.
  • Todos os termos são positivos (pois potências de números positivos divididas por k^{k}>0 para k\ge2).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o teste da raiz (teste de Cauchy). Motivo: o termo tem potências elevadas em k (como k^{k}), e o teste da raiz é muito eficiente quando aparecem expoentes que dependem de k — ele transforma essas potências em expressões que ficam simples ao extrair a raiz k-ésima. Agora explico o teste e por que ele funciona.
O teste da raiz diz: para uma série \sum a_k (com a_k reais ou complexos), defina
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui os a_k são positivos, então podemos usar \sqrt[k]{a_k} em vez de \sqrt[k]{|a_k|}. Vou calcular L.

Passo 3

Calculemos a raiz k-ésima do termo geral. Começamos com
a_k=\frac{2^{\,k-1}3^{\,k+1}}{k^{k}}.
Então
\sqrt[k]{a_k}=\left(\frac{2^{\,k-1}3^{\,k+1}}{k^{k}}\right)^{1/k} =\frac{(2^{\,k-1})^{1/k}\,(3^{\,k+1})^{1/k}}{(k^{k})^{1/k}}.
Agora calculamos cada fator separadamente:
(2^{\,k-1})^{1/k}=2^{(k-1)/k}=2^{1-1/k}=2\cdot 2^{-1/k},
(3^{\,k+1})^{1/k}=3^{(k+1)/k}=3^{1+1/k}=3\cdot 3^{1/k},
(k^{k})^{1/k}=k.
Substituindo:
\sqrt[k]{a_k}=\frac{2\cdot 2^{-1/k}\; \cdot\; 3\cdot 3^{1/k}}{k} =\frac{6\cdot 2^{-1/k}3^{1/k}}{k}.
Podemos reunir os fatores 2^{-1/k}3^{1/k}=(3/2)^{1/k}, então
\sqrt[k]{a_k}=\frac{6\,(3/2)^{1/k}}{k}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando k\to\infty. Note que para qualquer constante positiva c>0 temos c^{1/k}\to1 quando k\to\infty. Logo (3/2)^{1/k}\to1. Portanto
L=\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{6\,(3/2)^{1/k}}{k} =\lim_{k\to\infty}\frac{6\cdot 1}{k}=0.
Como L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, a série é convergente.
Intuição rápida: k^{k} cresce extremamente rápido (muito mais rápido que qualquer exponencial c^{k} com c fixo), por isso o denominador domina e faz os termos irem a zero muito depressa, garantindo convergência.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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