Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas que são relevantes:
- O termo geral da série é
. - A soma começa em
. - Todos os termos são positivos (pois potências de números positivos divididas por
para ).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o teste da raiz (teste de Cauchy). Motivo: o termo tem potências elevadas em
(como
), e o teste da raiz é muito eficiente quando aparecem expoentes que dependem de
— ele transforma essas potências em expressões que ficam simples ao extrair a raiz
-ésima. Agora explico o teste e por que ele funciona.
O teste da raiz diz: para uma série
(com
reais ou complexos), defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui os
são positivos, então podemos usar
em vez de
. Vou calcular
.
Passo 3
Calculemos a raiz
-ésima do termo geral. Começamos com
Então
Agora calculamos cada fator separadamente:
Substituindo:
Podemos reunir os fatores
, então
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Note que para qualquer constante positiva
temos
quando
. Logo
. Portanto
Como
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, a série é convergente.
Intuição rápida:
cresce extremamente rápido (muito mais rápido que qualquer exponencial
com
fixo), por isso o denominador domina e faz os termos irem a zero muito depressa, garantindo convergência.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).