Uma barra fina de massa " m " e comprimento “L”, é colocada no eixo x com uma extremidade na origem. Uma barra igual é colocada no eixo y, com uma extremidade na origem, de modo que as duas barras formam uma figura tipo “L”. Quais são as coordenadas do centro de massa das duas barras?
\bigcirc ( \mathrm{L} / 2, \mathrm{~L} / 2 )
\bigcirc (L/4, L/4)
\bigcirc (L/4, L/2)
\bigcirc ( \mathrm{L} / 2, \mathrm{~L} / 4 )
\bigcirc (L,L)

Passo 1

O enunciado dá duas barras finas idênticas, cada uma com massa \,m, e comprimento \,L, colocadas assim: uma ao longo do eixo x com uma extremidade na origem (do x=0 até x=L) e outra ao longo do eixo y com uma extremidade na origem (do y=0 até y=L), formando um “L”. A pergunta é: quais são as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas duas barras (ou seja, o par (\bar{x},\bar{y}))?
Informações relevantes dadas: \,m (massa de cada barra), \,L (comprimento de cada barra), barras uniformes e posicionadas em [0,L] nos eixos x e y com extremidade comum na origem.

Passo 2

Vamos lembrar a definição útil: o centro de massa de um corpo contínuo é dado por
\vec r_{cm}=\frac{1}{M}\int \vec r\,dm,
onde M é a massa total do corpo, \vec r é o vetor posição de cada elemento de massa dm. Para uma barra fina e uniforme ao longo do eixo x de 0 a L a densidade linear é
\lambda=\frac{m}{L},
e podemos escrever dm=\lambda\,dx. Usamos essa fórmula para encontrar o centro de massa de cada barra separadamente (essa é a forma mais direta e básica — nada de macetes complicados).

Passo 3

Centro de massa da barra no eixo x:
a coordenada x-do-centro de massa é
\bar{x}_x=\frac{1}{m}\int_{0}^{L} x\,dm=\frac{1}{m}\int_{0}^{L} x\,\lambda\,dx.
Substituindo \lambda=\dfrac{m}{L} obtemos
\bar{x}_x=\frac{1}{m}\cdot\frac{m}{L}\int_{0}^{L} x\,dx=\frac{1}{L}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=\frac{1}{L}\cdot\frac{L^{2}}{2}=\frac{L}{2}.
Como a barra está sobre o eixo x, seu vetor posição do centro de massa é \left(\dfrac{L}{2},0\right).

Passo 4

Centro de massa da barra no eixo y:
pela simetria e pelo mesmo cálculo (agora variando em y de 0 a L) temos
\bar{y}_y=\frac{1}{m}\int_{0}^{L} y\,\lambda\,dy=\frac{L}{2}.
Como essa barra está sobre o eixo y, seu vetor posição do centro de massa é \left(0,\dfrac{L}{2}\right).

Passo 5

Agora tratamos o sistema com as duas barras. Para um conjunto de massas puntuais (ou corpos cuja massa pode ser tomada como concentrada em seus centros de massa), o centro de massa do sistema é
\bar{x}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}.
Aqui temos duas “massa-ponto” efetivas: uma de massa m em \left(\dfrac{L}{2},0\right) e outra de massa m em \left(0,\dfrac{L}{2}\right). A massa total é 2m.

Passo 6

Cálculo das coordenadas do centro de massa do sistema:
\bar{x}=\frac{m\cdot\frac{L}{2}+m\cdot 0}{2m}=\frac{\frac{mL}{2}}{2m}=\frac{L}{4},
\bar{y}=\frac{m\cdot 0 + m\cdot\frac{L}{2}}{2m}=\frac{\frac{mL}{2}}{2m}=\frac{L}{4}.
Intuição rápida: por simetria em x e y o centro de massa deve ter \bar{x}=\bar{y}, e estar entre 0 e \tfrac{L}{2}; \tfrac{L}{4} faz sentido.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{L}{4},\frac{L}{4}\right)

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