Uma barra fina de massa "
" e comprimento “L”, é colocada no eixo x com uma extremidade na origem. Uma barra igual é colocada no eixo y, com uma extremidade na origem, de modo que as duas barras formam uma figura tipo “L”. Quais são as coordenadas do centro de massa das duas barras?
(
)
(L/4, L/4)
(L/4, L/2)
(
)
(L,L)
Passo 1
O enunciado dá duas barras finas idênticas, cada uma com massa
, e comprimento
, colocadas assim: uma ao longo do eixo
com uma extremidade na origem (do
até
) e outra ao longo do eixo
com uma extremidade na origem (do
até
), formando um “L”. A pergunta é: quais são as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas duas barras (ou seja, o par
)?
Informações relevantes dadas: (massa de cada barra),
(comprimento de cada barra), barras uniformes e posicionadas em
nos eixos
e
com extremidade comum na origem.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos lembrar a definição útil: o centro de massa de um corpo contínuo é dado por
onde
é a massa total do corpo,
é o vetor posição de cada elemento de massa
. Para uma barra fina e uniforme ao longo do eixo
de
a
a densidade linear é
e podemos escrever
. Usamos essa fórmula para encontrar o centro de massa de cada barra separadamente (essa é a forma mais direta e básica — nada de macetes complicados).
Passo 3
Centro de massa da barra no eixo
:
a coordenada -do-centro de massa é
a coordenada
Substituindo
obtemos
Como a barra está sobre o eixo
, seu vetor posição do centro de massa é
.
Passo 4
Centro de massa da barra no eixo
:
pela simetria e pelo mesmo cálculo (agora variando em de
a
) temos
pela simetria e pelo mesmo cálculo (agora variando em
Como essa barra está sobre o eixo
, seu vetor posição do centro de massa é
.
Passo 5
Agora tratamos o sistema com as duas barras. Para um conjunto de massas puntuais (ou corpos cuja massa pode ser tomada como concentrada em seus centros de massa), o centro de massa do sistema é
Aqui temos duas “massa-ponto” efetivas: uma de massa
em
e outra de massa
em
. A massa total é
.
Passo 6
Cálculo das coordenadas do centro de massa do sistema:
Intuição rápida: por simetria em
e
o centro de massa deve ter
, e estar entre
e
;
faz sentido.