Usando Scilab, otimize os problemas de PL dados a seguir:
Modelo primal
\begin{aligned} \text { Min } Z & =4 x_{1}+3 x_{2}+x_{3} \\\ \text { sujeito }{ }^{`} \mathrm{a} & : \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3} & \geq 7 \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & \geq 4 \\\ x_{i} & \geq 0,1 \leq i \leq 3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de programação linear
\begin{aligned} \min\;Z &=4x_{1}+3x_{2}+x_{3},\\\ \text{sujeito a}\quad 2x_{1}+2x_{2}+5x_{3}&\ge7,\\\\ 3x_{1}+5x_{2}+x_{3}&\ge4,\\\ x_{i}&\ge0,\;i=1,2,3. \end{aligned}
O conteúdo aqui é otimização linear e vamos usar a biblioteca GLPK do Scilab para resolver via método simplex.

Passo 2

Transformamos o problema em forma matricial para chamar a função glpk:
c = \begin{pmatrix}4\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}2 & 2 & 5\\\ 3 & 5 & 1\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}7\\\ 4\end{pmatrix}.
As variáveis têm limite inferior zero e sem limite superior (infinito). As duas restrições são do tipo “ \ge”, logo o vetor de tipos de restrição (ctype) será "LL" (cada "L" indica “ \ge”).

Passo 3

No Scilab, o código fica:
// Coeficientes do custo
c \(=\) [\(4\); \(3\); \(1\)];
// Matriz das restrições
A \(=\) [\(225\); \(351\)];
// Termos independentes
b \(=\) [\(7\); \(4\)];
// Limites inferiores (zero) e superiores (infinito)
lb \(=\) [\(0\); \(0\); \(0\)];
ub \(=\) []; // vetor vazio \(=+\)inf
// Tipo das restrições: 'L' \(=\) >\(=\)
ctype \(=\) "LL";
// Tipo das variáveis: 'C' \(=\) contínua
vartype \(=\) "CCC";
// sense \(=1\) para minimização
sense \(=1\);
// Chamada ao solver GLPK
[xopt, fopt] \(=\) glpk(c, A, b, lb, ub, ctype, vartype, sense);

Passo 4

A função retorna
x_{\text{opt}} =\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}0\\\ 13/23\\\ 27/23\end{pmatrix}, \quad f_{\text{opt}}=Z_{\min}\approx2{,}8696.
Isso significa que a solução ótima é
x_{1}=0,\quad x_{2}=\frac{13}{23},\quad x_{3}=\frac{27}{23},
com valor mínimo de Z\approx2{,}8696.

Resposta

x_{1}=0, x_{2}=\tfrac{13}{23}, x_{3}=\tfrac{27}{23} e Z_{\min}\approx2{,}8696.

Exercícios relacionados