(9 pontos) Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-4 y=3 e^{2 t}+t^{2} \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}-4y=3e^{2t}+t^{2},\\[4pt] y(0)=2,\\[4pt] y'(0)=-1. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: \;y^{\prime\prime}-4y=\text{(fonte)}.\n
  • A fonte (termo não homogêneo) é a soma de duas partes: \;3e^{2t} e \;t^{2}.\n
  • Condições iniciais: \;y(0)=2 e \;y'(0)=-1.\n
O que é pedido:
  • Encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais fornecidas.]

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime}-4y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. A equação característica é obtida substituindo y=e^{rt}, levando a:
r^{2}-4=0.
Resolver a equação característica:
r^{2}-4=(r-2)(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r=2,\; r=-2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
(Explicação didática rápida: a técnica da equação característica transforma a EDO em uma equação algébrica para encontrar expoentes r tais que e^{rt} seja solução; combinações lineares dessas exponenciais formam a solução geral do homogêneo.)

Passo 3

Escolher um método para obter uma solução particular de
y^{\prime\prime}-4y=3e^{2t}+t^{2}.
Aqui é natural usar o método dos coeficientes indeterminados porque o lado direito é soma de funções básicas (exponencial e polinômio). Regra prática: tentar uma solução particular igual à soma de soluções particulares para cada termo do lado direito. Atenção: se um termo do lado direito for solução da homogênea (ou coincidir com ela), multiplicar a tentativa por t^{m}, onde m é a multiplicidade necessária.
O lado direito tem dois termos:
  1. 3e^{2t}. Observação: e^{2t} pertence à família das soluções homogêneas (porque r=2 é raiz da característica), então devemos multiplicar por t.
  2. t^{2}. É um polinômio de grau 2; tentamos um polinômio de grau 2.
Portanto procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
com
y_{p1}(t)=A t e^{2t} \qquad\text{e}\qquad y_{p2}(t)=at^{2}+bt+c,
onde A,a,b,c são coeficientes a determinar.

Passo 4

Determinar A para y_{p1}(t)=A t e^{2t}.
Calcule derivadas (com cuidado):
y_{p1}(t)=A t e^{2t}.
Derivando:
y_{p1}'(t)=A\big(e^{2t}+2t e^{2t}\big)=A e^{2t}(1+2t).
Derivando de novo:
y_{p1}''(t)=A\big(2e^{2t}(1+2t)+2e^{2t}\big)=A e^{2t}\big(2(1+2t)+2\big)=A e^{2t}(4t+4).
Agora substitui na equação y''-4y apenas para esta parte:
y_{p1}''-4y_{p1}=A e^{2t}(4t+4)-4A t e^{2t}=A e^{2t}\big(4t+4-4t\big)=4A e^{2t}.
Queremos que essa contribuição iguale a parte correspondente do lado direito, ou seja 3e^{2t}. Assim:
4A e^{2t}=3e^{2t}\quad\Rightarrow\quad 4A=3\quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{4}.

Passo 5

Determinar a,b,c para y_{p2}(t)=at^{2}+bt+c, que deve produzir t^{2} ao computar y''-4y.
Calcule derivadas:
y_{p2}'(t)=2at+b, \qquad y_{p2}''(t)=2a.
Substituindo na equação:
y_{p2}''-4y_{p2}=2a-4(at^{2}+bt+c)=2a-4a t^{2}-4b t-4c.
Isso deve ser igual a t^{2}. Igualando coeficientes de polinômios (mesmo grau em ambos os lados):
  • Coeficiente de t^{2}: -4a=1 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{4}.
  • Coeficiente de t: -4b=0 \Rightarrow b=0.
  • Termo constante: 2a-4c=0. Substituindo a=-\tfrac{1}{4}:
2\left(-\tfrac{1}{4}\right)-4c=0 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{2}-4c=0 \quad\Rightarrow\quad -4c=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad c=-\tfrac{1}{8}.
Portanto
y_{p2}(t)=-\tfrac{1}{4}t^{2}+0\cdot t-\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

Passo 6

Construir a solução particular total e a solução geral da EDO.
Temos
y_{p1}(t)=\tfrac{3}{4}t e^{2t},\qquad y_{p2}(t)=-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.
Logo a solução particular é
y_{p}(t)=\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.
A solução geral da EDO é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}+\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

Passo 7

Determinar [C_{1}) e C_{2} usando as condições iniciais.
Primeiro calcule y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+\tfrac{3}{4}\cdot 0\cdot e^{0}-\tfrac{1}{4}\cdot 0^{2}-\tfrac{1}{8}=C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{8}.
A condição y(0)=2
C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{8}=2\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\tfrac{17}{8}.
Agora calcule y'(t). Diferencie a solução geral:
Derivada da homogênea:
\frac{d}{dt}\big(C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}\big)=2C_{1}e^{2t}-2C_{2}e^{-2t}.
Derivada da parte particular já conhecida (somente relembrando):
  • Para y_{p1}(t)=\tfrac{3}{4}t e^{2t} temos, conforme cálculo anterior com A=\tfrac{3}{4},
y_{p1}'(t)=\tfrac{3}{4}e^{2t}(1+2t).
  • Para y_{p2}(t)=-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8},
y_{p2}'(t)=-\tfrac{1}{2}t.
Somando:
y'(t)=2C_{1}e^{2t}-2C_{2}e^{-2t}+\tfrac{3}{4}e^{2t}(1+2t)-\tfrac{1}{2}t.
Avaliar em t=0:
y'(0)=2C_{1}-2C_{2}+\tfrac{3}{4}\cdot 1\cdot(1+0)-0=2C_{1}-2C_{2}+\tfrac{3}{4}.
A condição y'(0)=-1
2C_{1}-2C_{2}+\tfrac{3}{4}=-1\quad\Rightarrow\quad 2C_{1}-2C_{2}=-\tfrac{7}{4}.
Dividindo por 2:
C_{1}-C_{2}=-\tfrac{7}{8}.
Agora resolvemos o sistema linear em C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{17}{8},\\[4pt] C_{1}-C_{2}=-\tfrac{7}{8}. \end{cases}
Somando as duas equações:
2C_{1}=\tfrac{17}{8}-\tfrac{7}{8}=\tfrac{10}{8}=\tfrac{5}{4}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\tfrac{5}{8}.
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{17}{8}]:
C_{2}=\tfrac{17}{8}-\tfrac{5}{8}=\tfrac{12}{8}=\tfrac{3}{2}.]

Passo 8

Escrever a solução final substituindo C_{1} e C_{2}:
y(t)=\tfrac{5}{8}e^{2t}+\tfrac{3}{2}e^{-2t}+\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.
Opcionalmente podemos agrupar os termos com e^{2t}:
y(t)=e^{2t}\!\left(\tfrac{3}{4}t+\tfrac{5}{8}\right)+\tfrac{3}{2}e^{-2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

Resposta

y(t)=\tfrac{5}{8}e^{2t}+\tfrac{3}{2}e^{-2t}+\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

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