Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: \;y^{\prime\prime}-4y=\text{(fonte)}.\n
A fonte (termo não homogêneo) é a soma de duas partes: \;3e^{2t} e \;t^{2}.\n
Condições iniciais: \;y(0)=2 e \;y'(0)=-1.\n
O que é pedido:
Encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais fornecidas.]
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime}-4y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. A equação característica é obtida substituindo y=e^{rt}, levando a:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
(Explicação didática rápida: a técnica da equação característica transforma a EDO em uma equação algébrica para encontrar expoentes r tais que e^{rt} seja solução; combinações lineares dessas exponenciais formam a solução geral do homogêneo.)
Passo 3
Escolher um método para obter uma solução particular de
y^{\prime\prime}-4y=3e^{2t}+t^{2}.
Aqui é natural usar o método dos coeficientes indeterminados porque o lado direito é soma de funções básicas (exponencial e polinômio). Regra prática: tentar uma solução particular igual à soma de soluções particulares para cada termo do lado direito. Atenção: se um termo do lado direito for solução da homogênea (ou coincidir com ela), multiplicar a tentativa por t^{m}, onde m é a multiplicidade necessária.
O lado direito tem dois termos:
3e^{2t}. Observação: e^{2t} pertence à família das soluções homogêneas (porque r=2 é raiz da característica), então devemos multiplicar por t.
t^{2}. É um polinômio de grau 2; tentamos um polinômio de grau 2.
Portanto procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
com
y_{p1}(t)=A t e^{2t} \qquad\text{e}\qquad y_{p2}(t)=at^{2}+bt+c,