Resolva a EDO usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condições iniciais e pede a solução usando transformada de Laplace. As informações dadas são:
- EDO:
- Condições iniciais:
- Aqui
é a função degrau unitário deslocada de 2 (ou seja, , o que significa que a entrada vale para e vale para ).
O que se pede: encontrar a função
válida para todo
.
Passo 2
Primeiro vamos aplicar a transformada de Laplace à equação. Preciso lembrar as fórmulas fundamentais para transformada de derivadas:
- Para uma função
com transformada vale
Também uso a propriedade do degrau deslocado: se
tem transformada
então
No nosso caso a entrada é
, que pode ser vista como
multiplicando a função constante
. Assim a transformada dessa entrada será
(porque
).
Agora aplico a transformada de Laplace termo a termo na EDO. Seja
. Usando as condições iniciais
e
:
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Passo 3
Simplifico a expressão algébrica em
:
Observo que
. Logo:
Assim obtenho
isolado:
Passo 4
Vou inverter a transformada de Laplace separando as duas parcelas. Primeiro trabalho com a parcela não deslocada
Faço uma decomposição simples:
. Então
As transformadas inversas conhecidas são:
Portanto a contribuição dessa primeira parcela é
Isto corresponde à solução da homogênea com as condições iniciais impostas (antes da ação do degrau).
Passo 5
Agora trato a segunda parcela deslocada
Pelo teorema do deslocamento, a inversa será
multiplicando a inversa de
avaliada em
. Ou seja, se
então a contribuição da segunda parcela é
.
Preciso, então, calcular
. Faço frações parciais para
:
procuro constantes tais que
procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Desenvolvendo e juntando coeficientes resulta no sistema (comparando coeficientes de
):
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Da última equação vem
. Logo
. Substituindo em
:
Portanto
Passo 6
Inverto cada termo para obter
:
Somando:
Pela propriedade do degrau deslocado, a parcela original com o fator
gera:
Passo 7
Combino a solução homogênea (Passo 4) com a contribuição da entrada deslocada (Passo 6). Assim a solução geral para
é
Uma verificação rápida dos valores iniciais: para
vale
, então
e
, compatível com as condições iniciais (pode-se derivar explicitamente para confirmar).