Resolva a EDO usando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=3 u_{2}(t), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condições iniciais e pede a solução usando transformada de Laplace. As informações dadas são:
  • EDO: y''(t)+4y'(t)+4y(t)=3\,u_{2}(t).
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
  • Aqui u_{2}(t) é a função degrau unitário deslocada de 2 (ou seja, u_{2}(t)=u(t-2), o que significa que a entrada vale 0 para t<2 e vale 1 para t\ge2).
O que se pede: encontrar a função y(t) válida para todo t\ge0.

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a transformada de Laplace à equação. Preciso lembrar as fórmulas fundamentais para transformada de derivadas:
  • Para uma função y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} vale
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Também uso a propriedade do degrau deslocado: se f(t) tem transformada F(s) então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-a s}F(s).
No nosso caso a entrada é 3u(t-2)=3\cdot u(t-2), que pode ser vista como u(t-2) multiplicando a função constante 3. Assim a transformada dessa entrada será 3e^{-2s}/s (porque \mathcal{L}\{1\}=1/s).
Agora aplico a transformada de Laplace termo a termo na EDO. Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\} +4\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\} = \frac{3e^{-2s}}{s}.
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 - 0\big) +4\big(sY(s)-1\big) +4Y(s) = \frac{3e^{-2s}}{s}.

Passo 3

Simplifico a expressão algébrica em s:
\big(s^{2}+4s+4\big)Y(s) - s - 4 = \frac{3e^{-2s}}{s}.
Observo que s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}. Logo:
(s+2)^{2}Y(s)=s+4+\frac{3e^{-2s}}{s}.
Assim obtenho Y(s) isolado:
Y(s)=\frac{s+4}{(s+2)^{2}} + \frac{3e^{-2s}}{s\,(s+2)^{2}}.

Passo 4

Vou inverter a transformada de Laplace separando as duas parcelas. Primeiro trabalho com a parcela não deslocada
\frac{s+4}{(s+2)^{2}}.
Faço uma decomposição simples: s+4=(s+2)+2. Então
\frac{s+4}{(s+2)^{2}}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}}+\frac{2}{(s+2)^{2}}=\frac{1}{s+2}+\frac{2}{(s+2)^{2}}.
As transformadas inversas conhecidas são:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}}\right\}=t e^{-2t}.
Portanto a contribuição dessa primeira parcela é
y_{h}(t)=e^{-2t}+2t e^{-2t}.
Isto corresponde à solução da homogênea com as condições iniciais impostas (antes da ação do degrau).

Passo 5

Agora trato a segunda parcela deslocada
\frac{3e^{-2s}}{s\,(s+2)^{2}}.
Pelo teorema do deslocamento, a inversa será u(t-2) multiplicando a inversa de
F(s)=\frac{3}{s\,(s+2)^{2}},
avaliada em (t-2). Ou seja, se f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} então a contribuição da segunda parcela é u(t-2)\,f(t-2).
Preciso, então, calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s\,(s+2)^{2}}\right\}. Faço frações parciais para F(s):
procuro constantes A,B,C tais que
\frac{3}{s\,(s+2)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+2)^{2} obtemos:
3 = A(s+2)^{2} + B s (s+2) + C s.
Desenvolvendo e juntando coeficientes resulta no sistema (comparando coeficientes de s^{2},s,1):
  • coeficiente de s^{2}: A+B=0,
  • coeficiente de s: 4A+2B+C=0,
  • termo constante: 4A=3.
Da última equação vem A=3/4. Logo B=-3/4. Substituindo em 4A+2B+C=0:
4\cdot\frac{3}{4} + 2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) + C = 0
3 - \frac{3}{2} + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{3}{2}.
Portanto
\frac{3}{s\,(s+2)^{2}}=\frac{3/4}{s} - \frac{3/4}{s+2} - \frac{3/2}{(s+2)^{2}}.

Passo 6

Inverto cada termo para obter f(t):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3/4}{s}\right\}=\frac{3}{4}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{3/4}{s+2}\right\}=-\frac{3}{4}e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{3/2}{(s+2)^{2}}\right\}=-\frac{3}{2}\,t e^{-2t}.
Somando:
f(t)=\frac{3}{4} - \frac{3}{4}e^{-2t} - \frac{3}{2}\,t e^{-2t}.
Pela propriedade do degrau deslocado, a parcela original com o fator e^{-2s} gera:
y_{p}(t)=u(t-2)\,f(t-2) = u(t-2)\left[\frac{3}{4} - \frac{3}{4}e^{-2(t-2)} - \frac{3}{2}(t-2)e^{-2(t-2)}\right].

Passo 7

Combino a solução homogênea (Passo 4) com a contribuição da entrada deslocada (Passo 6). Assim a solução geral para t\ge0 é
y(t)=e^{-2t}+2t e^{-2t} + u(t-2)\left[\frac{3}{4} - \frac{3}{4}e^{-2(t-2)} - \frac{3}{2}(t-2)e^{-2(t-2)}\right].
Uma verificação rápida dos valores iniciais: para 0\le t<2 vale u(t-2)=0, então y(0)=1 e y'(0)=0, compatível com as condições iniciais (pode-se derivar explicitamente para confirmar).

Resposta

y(t)=e^{-2t}+2t e^{-2t} + u(t-2)\left[\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4}e^{-2(t-2)} - \dfrac{3}{2}(t-2)e^{-2(t-2)}\right]

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