Resolva a EDO usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução
:
Informações relevantes dadas:
- A EDO é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo à direita é
, a função degrau unitário deslocada em . - As condições iniciais são nulas:
e .
O objetivo é encontrarpara todo .
Passo 2
Vamos lembrar (aula rápida e direta) as ferramentas que usaremos:
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(de crescimento adequado),
- Propriedades para derivadas (muito úteis quando há condições iniciais):
Como aqui
e
, as fórmulas ficam simples:
e
, onde
.
- Transformada do degrau deslocado: a função
(zero para , e para ) tem
- Teorema do deslocamento no tempo (para a transformada inversa): se
, então
Em palavras: fator
no domínio
corresponde a um deslocamento no tempo e multiplicação por
.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace à EDO inteira. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais nulas:
Substituindo
,
e
, e
, obtemos:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo:
Observe que
. Portanto
Já dá para ver a estrutura: há um fator
multiplicando uma função racional em
. Isso sugere uso direto do teorema do deslocamento no tempo na inversa.
Passo 5
Vamos decompor a função racional
em frações parciais. Procura-se constantes
tais que
Multiplicando por
fica
Escolhendo valores convenientes de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Logo
Passo 6
Agora façamos a transformada inversa (sem o fator de deslocamento). Seja
Pelas tabelas básicas de transformadas:
Usando linearidade e a decomposição do Passo 5, obtemos a função no tempo correspondente a
:
Ou seja,
Passo 7
Lembrando que
, aplicamos o teorema do deslocamento no tempo (Passo 2): a transformada inversa de
é
multiplicado por
. Assim a solução no tempo é
onde
foi encontrada no Passo 6. Substituindo
obtemos (a forma final será apresentada abaixo na seção de resposta).