(3,0 pontos) Responda os itens abaixo:
(a) Defina operador linear auto-adjunto.
(b) Enuncie o Teorema Espectral.
(c) Seja
um operador linear auto-adjunto tal que
para todo
. Mostre que
, ou seja,
é o operador identicamente nulo.
(d) Sejam
operadores lineares auto-adjuntos tais que
para todo
. Prove que $A=B.
(a) Defina operador linear auto-adjunto.
(b) Enuncie o Teorema Espectral.
(c) Seja
(d) Sejam
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas; vou listar claramente cada pedido e as hipóteses dadas:
- (a) Definir o que é um operador linear auto-adjunto.
- (b) Enunciar o Teorema Espectral.
- (c) Dado
linear auto-adjunto tal que para todo , mostrar que (operador identicamente nulo). - (d) Dados
lineares auto-adjuntos tais que para todo , provar que .
Informações implícitas que vou usar (o enunciado supõe isto):
-
é um espaço com produto interno (finito-dimensão implícita pelo contexto clássico do teorema espectral, mas as partes (c) e (d) usam apenas propriedades do produto interno e adjunto). - As aplicações
são lineares e definidas em .
Vou agora desenvolver definições e ferramentas necessárias antes de provar (c) e (d).
Passo 2
Definição de operador adjunto e auto-adjunto (explicação passo a passo).
- Primeiro, para um operador linear
existe, quando tem produto interno, um operador adjunto caracterizado pela propriedade
Aqui
é o produto interno em
.
- Um operador linear
é chamado auto-adjunto (ou Hermitiano, no caso complexo; simétrico no caso real) se
ou seja, se
Comentário pedagógico: essa condição diz que a forma bilinear (ou sesquilinear)
é “simétrica” no sentido apropriado do produto interno. Auto-adjuntos têm propriedades muito agradáveis, como valores espectrais reais — vamos enunciar isso no próximo passo.
Passo 3
Enunciado do Teorema Espectral (forma clássica, clara e utilizável na prova).
- Teorema Espectral (versão para espaços de dimensão finita):
- Se
é um operador linear auto-adjunto em um espaço de produto interno de dimensão finita, então existem um conjunto de escalares reais e uma base ortonormal de tal que
Ou seja, é diagonalizável numa base ortonormal e todos os autovalores são números reais. - Se
- Forma matricial: a matriz de
numa base ortonormal é uma matriz diagonal real (ou, mais geralmente, é diagonalizável por uma matriz unitária/ortogonal). - Observação prática: o Teorema Espectral dá que operadores auto-adjuntos têm autovetores ortogonais e autovalores reais — isto é usado em muitos contextos, mas as partes (c) e (d) abaixo não exigem essa diagonalização; exigem outra identidade importante (polarização) que relaciona formas quadráticas e bilineares.
Passo 4
Apresentar e explicar a ferramenta central: identidade de polarização. Vou mostrar as versões real e complexa porque o enunciado não especifica o corpo. A polarização permite recuperar a forma bilinear (ou sesquilinear)
a partir da forma quadrática
.
- Versão para espaços sobre
(produto interno bilinear e simétrico): se então
para todos
.
- Verificação rápida (pequena aula): calcule
. Expandindo pela linearidade e simetria do produto interno obtém-se
Rearranjando obtemos a fórmula acima.
- Versão para espaços sobre
(produto interno sesquilinear, linear em primeira ou segunda variável conforme convenção; vou usar a convenção linear na primeira entrada e conjugado na segunda — a fórmula pode ser adaptada conforme a convenção, mas a forma a seguir é padrão quando se quer recuperar a partir de ):
para todos
.
- Intuição/checagem: se expandirmos cada termo
e usando linearidade e propriedade de conjugação do produto interno, os termos que restam isolam exatamente . Esta é a identidade de polarização complexa clássica.
Comentário didático: portanto, sempre que tivermos o valor da forma quadráticapara todos , podemos recuperar para quaisquer usando a polarização. Isso é o que vamos usar em (c) e (d).
Passo 5
Prova do item (c): se
é auto-adjunto e
para todo
, então
.
- Defina a forma quadrática
. Hipótese: para todo . - Aplicar a identidade de polarização:
- No caso real, para todos
,
Como é identicamente zero, o lado direito vale . Logo - No caso complexo, pela identidade de polarização complexa,
Novamente, se então o lado direito vale , e obtemos - No caso real, para todos
- Conclusão imediata: para cada vetor fixo
temos para todo . Pelo lema básico do produto interno (ou pelo Teorema de Riesz em espaços finito-dimensionais), a única forma de um vetor estar ortogonal a todos os vetores é ser o vetor zero. Assim para todo . Portanto é o operador nulo:
Comentário motivacional: em palavras mais simples, se a “energia”
é sempre zero, então todas as projeções
também são zero, então
manda tudo para o vetor nulo.
Passo 6
Prova do item (d): se
são auto-adjuntos e
para todo
, então
.
- Defina a forma quadrática comum
para todo . - Para quaisquer
, aplique a identidade de polarização (real ou complexa) para cada operador: - No caso real,
- No caso complexo, a identidade complexa dá novamente
- Assim
para todos . - Fixando
, a relação para todo implica . Como isso vale para todo , conclui-se que é o operador zero, ou seja,
Comentário final da prova: a ideia é simples — igualdade das formas quadráticas dá igualdade de todas as formas bilineares associadas via polarização; igualdade das formas bilineares significa que os operadores têm a mesma ação em produto interno contra vetores arbitrários, portanto são o mesmo operador.
Passo 7
Resumo pedagógico e incentivo rápido: usamos apenas a definição de adjunto, a identidade de polarização (que é a ferramenta chave para passar de valores de
para
) e uma propriedade básica do produto interno (se um vetor tem produto interno zero com todos os vetores então é o vetor zero). Com isso demonstramos (c) e (d). Boa! Você já entendeu a técnica: quando vir igualdades envolvendo
, pense imediatamente em polarização.
Resposta
(a) Um operador linear
é auto-adjunto se
, i.e.
para todos
.
(b) Teorema Espectral (versão finito-dimensional): se
é auto-adjunto então existem autovalores
e uma base ortonormal
de
tal que
para todo
; em particular
é diagonalizável por uma matriz ortogonal/unitária e seus autovalores são reais.
(c)
.
(d)
.