(3,0 pontos) Responda os itens abaixo:
(a) Defina operador linear auto-adjunto.
(b) Enuncie o Teorema Espectral.
(c) Seja T: E \rightarrow E um operador linear auto-adjunto tal que \langle T v, v\rangle=0 para todo v \in E. Mostre que T=0, ou seja, T é o operador identicamente nulo.
(d) Sejam A, B: E \rightarrow E operadores lineares auto-adjuntos tais que \langle A v, v\rangle=\langle B v, v\rangle para todo v \in E. Prove que $A=B.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas; vou listar claramente cada pedido e as hipóteses dadas:
  • (a) Definir o que é um operador linear auto-adjunto.
  • (b) Enunciar o Teorema Espectral.
  • (c) Dado T: E\to E linear auto-adjunto tal que \langle T v,v\rangle=0 para todo v\in E, mostrar que T=0 (operador identicamente nulo).
  • (d) Dados A,B: E\to E lineares auto-adjuntos tais que \langle A v,v\rangle=\langle B v,v\rangle para todo v\in E, provar que A=B.
Informações implícitas que vou usar (o enunciado supõe isto):
  • E é um espaço com produto interno (finito-dimensão implícita pelo contexto clássico do teorema espectral, mas as partes (c) e (d) usam apenas propriedades do produto interno e adjunto).
  • As aplicações T,A,B são lineares e definidas em E.
    Vou agora desenvolver definições e ferramentas necessárias antes de provar (c) e (d).

Passo 2

Definição de operador adjunto e auto-adjunto (explicação passo a passo).
  • Primeiro, para um operador linear T: E\to E existe, quando E tem produto interno, um operador adjunto T^*:E\to E caracterizado pela propriedade
\langle T x,y\rangle=\langle x,T^* y\rangle\quad\text{para todos }x,y\in E.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno em E.
  • Um operador linear T é chamado auto-adjunto (ou Hermitiano, no caso complexo; simétrico no caso real) se
T=T^*,
ou seja, se
\langle T x,y\rangle=\langle x,T y\rangle\quad\text{para todos }x,y\in E.
Comentário pedagógico: essa condição diz que a forma bilinear (ou sesquilinear) (x,y)\mapsto\langle T x,y\rangle é “simétrica” no sentido apropriado do produto interno. Auto-adjuntos têm propriedades muito agradáveis, como valores espectrais reais — vamos enunciar isso no próximo passo.

Passo 3

Enunciado do Teorema Espectral (forma clássica, clara e utilizável na prova).
  • Teorema Espectral (versão para espaços de dimensão finita):
    • Se T:E\to E é um operador linear auto-adjunto em um espaço de produto interno de dimensão finita, então existem um conjunto de escalares reais \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\} e uma base ortonormal \{e_1,\dots,e_n\} de E tal que
    T e_j=\lambda_j e_j\quad\text{para }j=1,\dots,n.Ou seja, T é diagonalizável numa base ortonormal e todos os autovalores \lambda_j são números reais.
  • Forma matricial: a matriz de T numa base ortonormal é uma matriz diagonal real (ou, mais geralmente, é diagonalizável por uma matriz unitária/ortogonal).
  • Observação prática: o Teorema Espectral dá que operadores auto-adjuntos têm autovetores ortogonais e autovalores reais — isto é usado em muitos contextos, mas as partes (c) e (d) abaixo não exigem essa diagonalização; exigem outra identidade importante (polarização) que relaciona formas quadráticas e bilineares.

Passo 4

Apresentar e explicar a ferramenta central: identidade de polarização. Vou mostrar as versões real e complexa porque o enunciado não especifica o corpo. A polarização permite recuperar a forma bilinear (ou sesquilinear) (x,y)\mapsto\langle T x,y\rangle a partir da forma quadrática Q(v)=\langle T v,v\rangle.
  • Versão para espaços sobre \mathbb{R} (produto interno bilinear e simétrico): se Q(v)=\langle T v,v\rangle então
\langle T x,y\rangle=\frac{1}{2}\big(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\big)
para todos x,y\in E.
  • Verificação rápida (pequena aula): calcule Q(x+y)=\langle T(x+y),x+y\rangle. Expandindo pela linearidade e simetria do produto interno obtém-se
Q(x+y)=Q(x)+2\langle T x,y\rangle+Q(y).
Rearranjando obtemos a fórmula acima.
  • Versão para espaços sobre \mathbb{C} (produto interno sesquilinear, linear em primeira ou segunda variável conforme convenção; vou usar a convenção linear na primeira entrada e conjugado na segunda — a fórmula pode ser adaptada conforme a convenção, mas a forma a seguir é padrão quando se quer recuperar \langle T x,y\rangle a partir de Q):
\langle T x,y\rangle=\frac{1}{4}\Big(Q(x+y)-Q(x-y)+i\,Q(x+i y)-i\,Q(x-i y)\Big)
para todos x,y\in E.
  • Intuição/checagem: se expandirmos cada termo Q(x\pm y) e Q(x\pm i y) usando linearidade e propriedade de conjugação do produto interno, os termos que restam isolam exatamente \langle T x,y\rangle. Esta é a identidade de polarização complexa clássica.
    Comentário didático: portanto, sempre que tivermos o valor da forma quadrática Q(v)=\langle T v,v\rangle para todos v, podemos recuperar \langle T x,y\rangle para quaisquer x,y usando a polarização. Isso é o que vamos usar em (c) e (d).

Passo 5

Prova do item (c): se T é auto-adjunto e \langle T v,v\rangle=0 para todo v\in E, então T=0.
  • Defina a forma quadrática Q(v)=\langle T v,v\rangle. Hipótese: Q(v)=0 para todo v\in E.
  • Aplicar a identidade de polarização:
    • No caso real, para todos x,y\in E,
    \langle T x,y\rangle=\frac{1}{2}\big(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\big).Como Q é identicamente zero, o lado direito vale 0. Logo \langle T x,y\rangle=0\quad\text{para todos }x,y\in E.
    • No caso complexo, pela identidade de polarização complexa,
    \langle T x,y\rangle=\frac{1}{4}\Big(Q(x+y)-Q(x-y)+iQ(x+i y)-iQ(x-i y)\Big).Novamente, se Q\equiv0 então o lado direito vale 0, e obtemos \langle T x,y\rangle=0\quad\text{para todos }x,y\in E.
  • Conclusão imediata: para cada vetor fixo x\in E temos \langle T x,y\rangle=0 para todo y\in E. Pelo lema básico do produto interno (ou pelo Teorema de Riesz em espaços finito-dimensionais), a única forma de um vetor estar ortogonal a todos os vetores é ser o vetor zero. Assim T x=0 para todo x\in E. Portanto T é o operador nulo:
T=0.
Comentário motivacional: em palavras mais simples, se a “energia” \langle T v,v\rangle é sempre zero, então todas as projeções \langle T x,y\rangle também são zero, então T manda tudo para o vetor nulo.

Passo 6

Prova do item (d): se A,B são auto-adjuntos e \langle A v,v\rangle=\langle B v,v\rangle para todo v\in E, então A=B.
  • Defina a forma quadrática comum Q(v)=\langle A v,v\rangle=\langle B v,v\rangle para todo v.
  • Para quaisquer x,y\in E, aplique a identidade de polarização (real ou complexa) para cada operador:
    • No caso real,
    \langle A x,y\rangle=\frac{1}{2}\big(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\big)=\langle B x,y\rangle.
    • No caso complexo, a identidade complexa dá novamente
    \langle A x,y\rangle=\frac{1}{4}\Big(Q(x+y)-Q(x-y)+iQ(x+i y)-iQ(x-i y)\Big)=\langle B x,y\rangle.
  • Assim \langle (A-B)x,y\rangle=0 para todos x,y\in E.
  • Fixando x, a relação \langle (A-B)x,y\rangle=0 para todo y implica (A-B)x=0. Como isso vale para todo x, conclui-se que A-B é o operador zero, ou seja,
A=B.
Comentário final da prova: a ideia é simples — igualdade das formas quadráticas dá igualdade de todas as formas bilineares associadas via polarização; igualdade das formas bilineares significa que os operadores têm a mesma ação em produto interno contra vetores arbitrários, portanto são o mesmo operador.

Passo 7

Resumo pedagógico e incentivo rápido: usamos apenas a definição de adjunto, a identidade de polarização (que é a ferramenta chave para passar de valores de \langle T v,v\rangle para \langle T x,y\rangle) e uma propriedade básica do produto interno (se um vetor tem produto interno zero com todos os vetores então é o vetor zero). Com isso demonstramos (c) e (d). Boa! Você já entendeu a técnica: quando vir igualdades envolvendo \langle T v,v\rangle, pense imediatamente em polarização.

Resposta

(a) Um operador linear T:E\to E é auto-adjunto se T=T^*, i.e.
\langle T x,y\rangle=\langle x,T y\rangle para todos x,y\in E.
(b) Teorema Espectral (versão finito-dimensional): se T:E\to E é auto-adjunto então existem autovalores \lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R} e uma base ortonormal \{e_1,\dots,e_n\} de E tal que T e_j=\lambda_j e_j para todo j; em particular T é diagonalizável por uma matriz ortogonal/unitária e seus autovalores são reais.
(c) T=0.
(d) A=B.

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