(3.0 pontos) Responda os itens abaixo:
(a) Defina operador linear auto-adjunt o.
(b) Enuncie o Toorema Eepectral.
(c) Seja
um operador linear auto-adjunto tal que
para todo
. Mostre que
, ou seja,
é o operador identicamente nulo.
(d) Sejam
operadores lineares auto-adjuntos tais gue
pars twör
. Prove que
.
(a) Defina operador linear auto-adjunt o.
(b) Enuncie o Toorema Eepectral.
(c) Seja
(d) Sejam
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas, sem resolver nada ainda.
-
O enunciado tem quatro itens:
(a) Definir o que é um operador linear auto-adjunto.
(b) Enunciar o Teorema Espectral.
(c) Dadolinear auto-adjunto tal que para todo , mostrar que (isto é, é o operador nulo).
(d) Dadosoperadores lineares auto-adjuntos tais que para todo , provar que . -
Informações importantes fornecidas:
-
é um espaço com produto interno (está implícito pelo uso de ). - Os operadores mencionados são lineares e auto-adjuntos.
- Para (c) e (d) há igualdades envolvendo a forma quadrática
.
-
Passo 2
(a) Definição e explicação didática.
Definição: Um operador linear
é chamado auto-adjunto se
Explicação passo a passo e intuição:
- Primeiro, “operador linear” significa que
para quaisquer escalares e vetores . - O produto interno
é uma aplicação bilinear (ou sesquilinear no caso complexo) que mede “ângulos” e “normas”. - A condição
diz que mover o operador de um argumento do produto interno para o outro não altera o valor — em termos concretos, é “simétrico” em relação ao produto interno. - Em coordenadas (num espaço finito com base ortonormal), um operador auto-adjunto corresponde a uma matriz simétrica (se o corpo for
) ou hermitiana (se o corpo for ).
Exemplo simples: se
com produto interno usual e
é uma matriz simétrica, então o operador
é auto-adjunto porque
.
Passo 3
(b) Enunciação do Teorema Espectral (versão para espaços euclidianos/finitos, com explicação).
Enunciado (forma usuais para espaços de dimensão finita sobre
ou
):
Consequências imediatas e interpretação:
- Todos os autovalores de
são reais. - Na base ortonormal formada por autovetores, a matriz de
é diagonal (com entradas sendo os autovalores). - Em
isso equivale a: toda matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal; em toda matriz hermitiana é diagonalizável por uma matriz unitária.
Explicação didática:
- “Base ortonormal de autovetores” quer dizer que se escolhe vetores
ortonormais tal que . Assim atua apenas multiplicando cada direção por um escalar . - Isso é muito útil: permite reduzir problemas envolvendo
a operações escalares nos autovalores. - Intuição: auto-adjuntidade impõe simetria suficiente para garantir autovetores ortogonais, e então comortogonalização obtemos uma base ortonormal.
Observação rápida: a prova do Teorema Espectral normalmente usa o fato de que uma forma quadrática associada a
atinge máximos/minimos sobre a esfera e produz autovetores, e procede por indução reduzindo a dimensão.
Passo 4
(c) Prova detalhada e passo a passo de que
quando
é auto-adjunto e
para todo
.
Estratégia simples e direta: mostrar que
para quaisquer
; em particular, para
isso dará
, e então
. Como
era arbitrário,
é o operador nulo.
Prova detalhada:
- Tome
arbitrários. Como é linear e o produto interno é bilinear (ou sesquilinear), considere o vetor . Pela hipótese temos - Expanda o lado esquerdo usando linearidade do operador
e bilinearidade do produto interno: - Pela hipótese,
e . Logo - Como
é auto-adjunto, . Em espaços sobre o produto interno é simétrico, então . Assim os dois termos são iguais e a igualdade do passo anterior dá Logo (Se o espaço for complexo, a mesma conclusão é obtida usando combinações e — isto é, a polarização; o raciocínio análogo mostra para todo .) - Fixe agora
. Como para todo , em particular tomando obtemos Mas , e implica . - Como isso vale para qualquer
, segue que para todo , ou seja, .
Comentário encorajador: essencialmente mostramos que a forma quadrática
determina a forma bilinear associada
quando
é auto-adjunto; se a forma quadrática é identicamente zero, então todas as entradas bilineares são zero e o operador anula todo vetor.
Passo 5
(d) Prova detalhada e passo a passo de que
se
para todo
, com
auto-adjuntos.
- Defina
. Como e são lineares, é linear. Como e são auto-adjuntos, para quaisquer temos portanto é auto-adjunto (diferença de auto-adjuntos é auto-adjunto). - Para todo
temos, pela hipótese, Subtraindo, obtemos - Pelo resultado do item (c) (já provado), se
é auto-adjunto e para todo , então . - Logo
, isto é,
Comentário: este exercício (d) é direto depois do (c): comparar as formas quadráticas associadas e aplicar o fato de que a forma quadrática zero para um operador auto-adjunto força o próprio operador a ser zero.
Resposta
(a) Um operador linear
é auto-adjunto se
para todo
.
(b) Se
é um operador linear auto-adjunto em um espaço de dimensão finita, então existem autovalores reais
e uma base ortonormal de
formada por autovetores de
; em particular,
é diagonalizável por uma transformação ortogonal (ou unitária no caso complexo).
(c)
.
(d)
.