(3.0 pontos) Responda os itens abaixo:
(a) Defina operador linear auto-adjunt o.
(b) Enuncie o Toorema Eepectral.
(c) Seja T: E \rightarrow E um operador linear auto-adjunto tal que (T v, v)=0 para todo v \in \mathbb{E}. Mostre que T=0, ou seja, T é o operador identicamente nulo.
(d) Sejam A, B: E \rightarrow E operadores lineares auto-adjuntos tais gue (A s, 3)=(B r-3) pars twör v \in E. Prove que A=B.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado tem quatro itens:
    (a) Definir o que é um operador linear auto-adjunto.
    (b) Enunciar o Teorema Espectral.
    (c) Dado T: E \to E linear auto-adjunto tal que (T v, v)=0 para todo v\in E, mostrar que T=0 (isto é, T é o operador nulo).
    (d) Dados A,B: E\to E operadores lineares auto-adjuntos tais que (A v,v)=(B v,v) para todo v\in E, provar que A=B.
  • Informações importantes fornecidas:
    • E é um espaço com produto interno (está implícito pelo uso de (\cdot,\cdot)).
    • Os operadores mencionados são lineares e auto-adjuntos.
    • Para (c) e (d) há igualdades envolvendo a forma quadrática v\mapsto (Tv,v).

Passo 2

(a) Definição e explicação didática.
Definição: Um operador linear T: E\to E é chamado auto-adjunto se
(Tx,y)=(x,Ty)\quad\text{para todo }x,y\in E.
Explicação passo a passo e intuição:
  • Primeiro, “operador linear” significa que T(\alpha x+\beta y)=\alpha T x+\beta T y para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores x,y\in E.
  • O produto interno (\cdot,\cdot) é uma aplicação bilinear (ou sesquilinear no caso complexo) que mede “ângulos” e “normas”.
  • A condição (Tx,y)=(x,Ty) diz que mover o operador T de um argumento do produto interno para o outro não altera o valor — em termos concretos, T é “simétrico” em relação ao produto interno.
  • Em coordenadas (num espaço finito com base ortonormal), um operador auto-adjunto corresponde a uma matriz simétrica (se o corpo for \mathbb{R}) ou hermitiana (se o corpo for \mathbb{C}).
Exemplo simples: se E=\mathbb{R}^n com produto interno usual e A é uma matriz simétrica, então o operador T(x)=Ax é auto-adjunto porque x^\top A y = (Ax)^\top y = x^\top (A y).

Passo 3

(b) Enunciação do Teorema Espectral (versão para espaços euclidianos/finitos, com explicação).
Enunciado (forma usuais para espaços de dimensão finita sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}):
\text{Se }T:E\to E\text{ é um operador linear auto-adjunto em um espaço de dimensão finita, então existe uma base ortonormal de }E\text{ formada por autovetores de }T.éçãã
Consequências imediatas e interpretação:
  • Todos os autovalores de T são reais.
  • Na base ortonormal formada por autovetores, a matriz de T é diagonal (com entradas sendo os autovalores).
  • Em \mathbb{R}^n isso equivale a: toda matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal; em \mathbb{C}^n toda matriz hermitiana é diagonalizável por uma matriz unitária.
Explicação didática:
  • “Base ortonormal de autovetores” quer dizer que se escolhe vetores e_1,\dots,e_n ortonormais tal que T e_j=\lambda_j e_j. Assim T atua apenas multiplicando cada direção por um escalar \lambda_j.
  • Isso é muito útil: permite reduzir problemas envolvendo T a operações escalares nos autovalores.
  • Intuição: auto-adjuntidade impõe simetria suficiente para garantir autovetores ortogonais, e então comortogonalização obtemos uma base ortonormal.
Observação rápida: a prova do Teorema Espectral normalmente usa o fato de que uma forma quadrática associada a T atinge máximos/minimos sobre a esfera e produz autovetores, e procede por indução reduzindo a dimensão.

Passo 4

(c) Prova detalhada e passo a passo de que T=0 quando T é auto-adjunto e (T v,v)=0 para todo v.
Estratégia simples e direta: mostrar que (T u,v)=0 para quaisquer u,v; em particular, para v=Tu isso dará \|Tu\|^2=0, e então Tu=0. Como u era arbitrário, T é o operador nulo.
Prova detalhada:
  1. Tome u,v\in E arbitrários. Como T é linear e o produto interno é bilinear (ou sesquilinear), considere o vetor u+v. Pela hipótese temos (T(u+v),u+v)=0.
  2. Expanda o lado esquerdo usando linearidade do operador T e bilinearidade do produto interno: (T(u+v),u+v)=(T u,u)+(T u,v)+(T v,u)+(T v,v).
  3. Pela hipótese, (T u,u)=0 e (T v,v)=0. Logo 0=(T u,v)+(T v,u).
  4. Como T é auto-adjunto, (T v,u)=(v,T u). Em espaços sobre \mathbb{R} o produto interno é simétrico, então (v,T u)=(T u,v). Assim os dois termos são iguais e a igualdade do passo anterior dá 0=2\,(T u,v).Logo (T u,v)=0\quad\text{para todo }u,v\in E.(Se o espaço for complexo, a mesma conclusão é obtida usando combinações u+v e u+iv — isto é, a polarização; o raciocínio análogo mostra (Tu,v)=0 para todo u,v.)
  5. Fixe agora u. Como (T u,v)=0 para todo v\in E, em particular tomando v=Tu obtemos (T u,T u)=0.Mas (T u,T u)=\|T u\|^2, e \|T u\|^2=0 implica T u=0.
  6. Como isso vale para qualquer u, segue que T u=0 para todo u\in E, ou seja, T=0.
Comentário encorajador: essencialmente mostramos que a forma quadrática v\mapsto (Tv,v) determina a forma bilinear associada (Tu,v) quando T é auto-adjunto; se a forma quadrática é identicamente zero, então todas as entradas bilineares são zero e o operador anula todo vetor.

Passo 5

(d) Prova detalhada e passo a passo de que A=B se (A v,v)=(B v,v) para todo v, com A,B auto-adjuntos.
  1. Defina T:=A-B. Como A e B são lineares, T é linear. Como A e B são auto-adjuntos, para quaisquer x,y temos (T x,y)=(A x - B x,y)=(A x,y)-(B x,y)=(x,Ay)-(x,By)=(x,(A-B)y)=(x,T y),portanto T é auto-adjunto (diferença de auto-adjuntos é auto-adjunto).
  2. Para todo v\in E temos, pela hipótese, (A v,v)=(B v,v).Subtraindo, obtemos (T v,v)=(A v,v)-(B v,v)=0\quad\text{para todo }v\in E.
  3. Pelo resultado do item (c) (já provado), se T é auto-adjunto e (T v,v)=0 para todo v, então T=0.
  4. Logo A-B=T=0, isto é, A=B.
Comentário: este exercício (d) é direto depois do (c): comparar as formas quadráticas associadas e aplicar o fato de que a forma quadrática zero para um operador auto-adjunto força o próprio operador a ser zero.

Resposta

(a) Um operador linear T:E\to E é auto-adjunto se (T x,y)=(x,T y) para todo x,y\in E.
(b) Se T:E\to E é um operador linear auto-adjunto em um espaço de dimensão finita, então existem autovalores reais \lambda_1,\dots,\lambda_n e uma base ortonormal de E formada por autovetores de T; em particular, T é diagonalizável por uma transformação ortogonal (ou unitária no caso complexo).
(c) T=0.
(d) A=B.

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