(2,5 pontos) Determine os autovalores da tranuformagio linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, conde
T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(4x+5y,\;2x+y).
O que é pedido: determinar os autovalores (ou seja, os valores escalares \lambda para os quais existem vetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v).
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T em coordenadas canônicas: a primeira componente é 4x+5y e a segunda é 2x+y.
  • Não foram pedidos autovetores, apenas os autovalores.

Passo 2

Vamos escrever T como uma matriz em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}. A imagem de (x,y) pode ser vista como a multiplicação da matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 5 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}. Ou seja,
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição prática de autovalor: um número \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de A se existir vetor não nulo v com
A v = \lambda v.
Equivalente é que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
Para uma matriz 2\times2 isso gera um polinômio quadrático em \lambda chamado polinômio característico.

Passo 4

Formar A-\lambda I e calcular o determinante. A matriz A-\lambda I é
A-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & 5 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(1-\lambda)-5\cdot 2.
Agora desenvolvendo:
(4-\lambda)(1-\lambda)=4-4\lambda-\lambda+\lambda^2=\lambda^2-5\lambda+4,
portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+4-10=\lambda^2-5\lambda-6.]

Passo 5

O polinômio característico é, então,
\lambda^2-5\lambda-6=0.
(Dica rápida para \ 2\times2: o polinômio característico costuma ser \lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A. Aqui \operatorname{tr}A=4+1=5 e \det A=4\cdot1-5\cdot2=-6, o que confirma \lambda^2-5\lambda-6.)

Passo 6

Agora resolvemos a equação quadrática
\lambda^2-5\lambda-6=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática): para
\lambda^2+b\lambda+c=0
as raízes são
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}.
No nosso caso b=-5 e c=-6 quando reescrevemos como \lambda^2+(-5)\lambda+(-6)=0. Mais direto, aplicando a fórmula:
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2}.
Como \sqrt{49}=7, obtemos as duas soluções:
\lambda_1=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6, \qquad \lambda_2=\frac{5-7}{2}=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 7

Verificação rápida (propriedades úteis):
  • Soma dos autovalores =6+(-1)=5, que é igual à traça \operatorname{tr}A=5.
  • Produto dos autovalores =6\cdot(-1)=-6, que é igual ao determinante \det A=-6.
    Essas coincidências aumentam a confiança de que os cálculos estão corretos.

Resposta

\lambda_1=6
\lambda_2=-1

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