(2,5 pontos) Determine os autovalores da tranuformagio linear
, conde
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que é pedido: determinar os autovalores (ou seja, os valores escalares
para os quais existem vetores não nulos
tais que
).
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de
em coordenadas canônicas: a primeira componente é e a segunda é . - Não foram pedidos autovetores, apenas os autovalores.
Passo 2
Vamos escrever
como uma matriz em relação à base canônica
. A imagem de
pode ser vista como a multiplicação da matriz
pelo vetor coluna
. Ou seja,
Passo 3
Definição prática de autovalor: um número
é autovalor de
se existir vetor não nulo
com
Equivalente é que a matriz
seja singular, isto é,
Para uma matriz
isso gera um polinômio quadrático em
chamado polinômio característico.
Passo 4
Formar
e calcular o determinante. A matriz
é
Seu determinante é
Agora desenvolvendo:
portanto
Passo 5
O polinômio característico é, então,
(Dica rápida para \ 2\times2: o polinômio característico costuma ser
. Aqui
e
, o que confirma
.)
Passo 6
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática): para
as raízes são
No nosso caso
e
quando reescrevemos como
. Mais direto, aplicando a fórmula:
Como
, obtemos as duas soluções:
Passo 7
Verificação rápida (propriedades úteis):
- Soma dos autovalores
, que é igual à traça . - Produto dos autovalores
, que é igual ao determinante .
Essas coincidências aumentam a confiança de que os cálculos estão corretos.