( 1,5 pontos) Sabendo que o número de lacunas em equilibrio a
para o elemento aluminio é de
, calcule a energia de ativação para a formação de lacunas desse elemento. Adote o peso atômico e a massa especifica (a
) para o alumínio, respectivamente, de
e
e a constante de Boltzman de
atom -K .
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a energia de ativação para a formação de lacunas no alumínio, sabendo os seguintes dados fornecidos pelo enunciado:
- número de lacunas em equilíbrio a
: ; - peso atômico do alumínio:
; - massa específica do alumínio a
: ; - constante de Boltzmann (fornecida):
.
A tarefa é encontrar a energia de ativação(em eV por átomo) associada à formação de lacunas.
Passo 2
Vou converter unidades e listar constantes que vou usar:
- temperatura absoluta:
; - transformar a densidade em unidades úteis:
; - constante de Avogadro (que vou usar para obter número de átomos):
.
Passo 3
Vou calcular a densidade atômica (nº de átomos por metro cúbico) do alumínio, que é o número de sítios atômicos por volume e vou chamar de
.
Primeiro, o número de mols por metro cúbico é
Primeiro, o número de mols por metro cúbico é
Faço a divisão:
Agora multiplico por
para obter átomos por metro cúbico:
Passo 4
Explico a relação física que vou usar. Em equilíbrio térmico a concentração de lacunas é dada por
onde:
-
é o número de lacunas por volume (dado); -
é o número de sítios atômicos por volume (calculado no passo anterior); -
é a energia de formação de lacuna que queremos (em eV/átom); -
é a constante de Boltzmann (em eV/K); -
é a temperatura absoluta (em K).
Para acharisolo : tomo logaritmo natural e reorganizo:
portanto
Passo 5
Vou calcular
, que aparece na fórmula:
Multiplicando:
Passo 6
Calculo agora a razão
:
Em seguida calculo o logaritmo natural:
Passo 7
Substituo na expressão para
:
Faço a multiplicação:
Passo 8
Interpretação física e observação importante (para você ficar esperto na prova): o resultado obtido é
, ou seja, negativo. Isso é fisicamente impossível para uma energia de formação (que deve ser positiva): uma lacuna exige energia para ser criada. O motivo numérico desse resultado é que o enunciado forneceu um
maior do que o número total de sítios atômicos
(veja que
e
), o que torna a razão maior que 1 e gera o logaritmo positivo. Portanto, ou houve um erro tipográfico no enunciado (por exemplo,
deveria ser menor — possivelmente
ou outro valor), ou os dados são inconsistentes. Eu calculei conforme os dados fornecidos; o resultado numérico segue diretamente da fórmula, mas é fisicamente não aceitável.