( 1,5 pontos) Sabendo que o número de lacunas em equilibrio a 600^{\circ} \mathrm{C} para o elemento aluminio é de 8,57 \mathrm{x} 10^{28} \mathrm{~m}^{-3}, calcule a energia de ativação para a formação de lacunas desse elemento. Adote o peso atômico e a massa especifica (a 600^{\circ} \mathrm{C} ) para o alumínio, respectivamente, de 26,98 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e 2,62 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a constante de Boltzman de 8,62 \times 10^{-5} \mathrm{eV} / atom -K .

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a energia de ativação para a formação de lacunas no alumínio, sabendo os seguintes dados fornecidos pelo enunciado:
  • número de lacunas em equilíbrio a 600^\circ\mathrm{C}: n_v = 8,57\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}};
  • peso atômico do alumínio: M = 26,98\\ \mathrm{g/mol};
  • massa específica do alumínio a 600^\circ\mathrm{C}: \rho = 2,62\\ \mathrm{g/cm^{3}};
  • constante de Boltzmann (fornecida): k = 8,62\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/(átom\cdot K)}á.
    A tarefa é encontrar a energia de ativação Q (em eV por átomo) associada à formação de lacunas.

Passo 2

Vou converter unidades e listar constantes que vou usar:
  • temperatura absoluta: T = 600^\circ\mathrm{C} = 600 + 273{,}15 = 873{,}15\\ \mathrm{K};
  • transformar a densidade em unidades úteis: \rho = 2{,}62\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 2{,}62\times10^{6}\\ \mathrm{g/m^{3}};
  • constante de Avogadro (que vou usar para obter número de átomos): N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 3

Vou calcular a densidade atômica (nº de átomos por metro cúbico) do alumínio, que é o número de sítios atômicos por volume e vou chamar de N.
Primeiro, o número de mols por metro cúbico é
\text{mols/m}^3 = \frac{\rho\\ (\mathrm{g/m^3})}{M\\ (\mathrm{g/mol})} = \frac{2{,}62\times10^{6}}{26{,}98}.
Faço a divisão:
\frac{2{,}62\times10^{6}}{26{,}98} \approx 9{,}7107\times10^{4}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Agora multiplico por N_A para obter átomos por metro cúbico:
N = (9{,}7107\times10^{4})\times(6{,}022\times10^{23}) \approx 5{,}85\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Explico a relação física que vou usar. Em equilíbrio térmico a concentração de lacunas é dada por
n_v = N \exp\!\left(-\frac{Q}{kT}\right),
onde:
  • n_v é o número de lacunas por volume (dado);
  • N é o número de sítios atômicos por volume (calculado no passo anterior);
  • Q é a energia de formação de lacuna que queremos (em eV/átom);
  • k é a constante de Boltzmann (em eV/K);
  • T é a temperatura absoluta (em K).
    Para achar Q isolo Q: tomo logaritmo natural e reorganizo:
\ln\!\left(\frac{n_v}{N}\right) = -\frac{Q}{kT}
portanto
Q = -\,kT\;\ln\!\left(\frac{n_v}{N}\right).

Passo 5

Vou calcular kT, que aparece na fórmula:
kT = (8{,}62\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K})\times(873{,}15\\ \mathrm{K}).
Multiplicando:
kT \approx 0{,}07528\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Calculo agora a razão \dfrac{n_v}{N}:
\frac{n_v}{N} = \frac{8{,}57\times10^{28}}{5{,}85\times10^{28}} \approx 1{,}4649.
Em seguida calculo o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{n_v}{N}\right) = \ln(1{,}4649) \approx 0{,}3817.

Passo 7

Substituo na expressão para Q:
Q = -\,kT\;\ln\!\left(\frac{n_v}{N}\right) = -\,(0{,}07528\\ \mathrm{eV})\times(0{,}3817).
Faço a multiplicação:
Q \approx -0{,}0287\\ \mathrm{eV}.

Passo 8

Interpretação física e observação importante (para você ficar esperto na prova): o resultado obtido é Q<0, ou seja, negativo. Isso é fisicamente impossível para uma energia de formação (que deve ser positiva): uma lacuna exige energia para ser criada. O motivo numérico desse resultado é que o enunciado forneceu um n_v maior do que o número total de sítios atômicos N (veja que n_v = 8{,}57\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}} e N \approx 5{,}85\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}), o que torna a razão maior que 1 e gera o logaritmo positivo. Portanto, ou houve um erro tipográfico no enunciado (por exemplo, n_v deveria ser menor — possivelmente 8{,}57\times10^{26} ou outro valor), ou os dados são inconsistentes. Eu calculei conforme os dados fornecidos; o resultado numérico segue diretamente da fórmula, mas é fisicamente não aceitável.

Resposta

-0{,}0287\\ \mathrm{eV}

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