(2,0 pontos) O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora. Qual é a probabilidade de pelo menos quatro pessoas chegarem em um período de 45 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (lista clara do que foi fornecido e do que é pedido):
- Chegadas seguem um processo de Poisson com taxa de chegada de
pessoas por hora. - O intervalo de tempo considerado é de
minutos, ou seja horas. - A pergunta: qual é a probabilidade de haver pelo menos
pessoas chegando nesse período de minutos?
Passo 2
Entendendo o que usar (conceito que vou aplicar).
- Para contagens de eventos que ocorrem aleatoriamente e independentemente a uma taxa média constante, usa-se a distribuição de Poisson.
- Se o número médio esperado de eventos no intervalo for
, a probabilidade de ocorrer exatamente eventos é dada por:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de chegadas no intervalo; -
é a média (valor esperado) de chegadas no intervalo considerado; -
é o fatorial de (por exemplo ). - Aqui a taxa é
por hora e o intervalo tem duração horas, logo a média no intervalo é
Passo 3
Estratégia para calcular "pelo menos
".
- Pedem
. É mais simples usar o complemento:
- Vou calcular
e somá-las, depois faço essa soma.
Passo 4
Calcular o parâmetro da Poisson para o intervalo de
minutos.
Passo 5
Calcular
para
. Primeiro escrevo a fórmula e depois uso uma relação prática para reduzir conta:
Uma relação útil entre probabilidades sucessivas é
o que evita recalcular potências e fatoriais do zero cada vez.
Calculemos numericamente (aproximações decimais exibidas com 6 casas para ficar claro):
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora somo essas probabilidades:
E por fim o complemento:
Interpretação curta e ânimo: dá um pouco mais de
de chance — ou seja, é mais provável do que não que cheguem pelo menos quatro pessoas em
minutos. Força aí, esse tipo de conta é padrão em prova: identificar a média no intervalo e usar Poisson + complemento.