(2,0 pontos) O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora. Qual é a probabilidade de pelo menos quatro pessoas chegarem em um período de 45 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (lista clara do que foi fornecido e do que é pedido):
  • Chegadas seguem um processo de Poisson com taxa de chegada de \,5 pessoas por hora.
  • O intervalo de tempo considerado é de 45 minutos, ou seja \,0,75 horas.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de haver pelo menos 4 pessoas chegando nesse período de 45 minutos?

Passo 2

Entendendo o que usar (conceito que vou aplicar).
  • Para contagens de eventos que ocorrem aleatoriamente e independentemente a uma taxa média constante, usa-se a distribuição de Poisson.
  • Se o número médio esperado de eventos no intervalo for \lambda', a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é dada por:
P(X=k)=e^{-\lambda'}\frac{{\lambda'}^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de chegadas no intervalo;
  • \lambda' é a média (valor esperado) de chegadas no intervalo considerado;
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=6).
  • Aqui a taxa é \,5 por hora e o intervalo tem duração 0,75 horas, logo a média no intervalo é
\lambda' = 5 \times 0,75.

Passo 3

Estratégia para calcular "pelo menos 4".
  • Pedem P(X\ge4). É mais simples usar o complemento:
P(X\ge4)=1-P(X\le3)=1-\sum_{k=0}^{3}P(X=k).
  • Vou calcular P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3) e somá-las, depois faço 1- essa soma.

Passo 4

Calcular o parâmetro da Poisson para o intervalo de 45 minutos.
\lambda' = 5\times 0,75 = 3,75.

Passo 5

Calcular P(X=k) para k=0,1,2,3. Primeiro escrevo a fórmula e depois uso uma relação prática para reduzir conta:
P(X=0)=e^{-3,75}\frac{3,75^{0}}{0!}=e^{-3,75}.
Uma relação útil entre probabilidades sucessivas é
P(X{k+1})=P(X=k)\cdot\frac{\lambda'}{k+1},
o que evita recalcular potências e fatoriais do zero cada vez.
Calculemos numericamente (aproximações decimais exibidas com 6 casas para ficar claro):
  1. P(X=0):
P(X=0)=e^{-3,75}\approx 0,02351775.
  1. P(X=1):
P(X=1)=P(X=0)\cdot\frac{3,75}{1}\approx 0,02351775\times 3,75\approx 0,08819156.
  1. P(X=2):
P(X=2)=P(X=1)\cdot\frac{3,75}{2}\approx 0,08819156\times 1,875\approx 0,16536021.
  1. P(X=3):
P(X=3)=P(X=2)\cdot\frac{3,75}{3}\approx 0,16536021\times 1,25\approx 0,20670026.
Agora somo essas probabilidades:
\sum_{k=0}^{3}P(X=k)\approx 0,02351775+0,08819156+0,16536021+0,20670026\approx 0,48376978.
E por fim o complemento:
P(X\ge4)=1-0,48376978\approx 0,51623022.
Interpretação curta e ânimo: dá um pouco mais de 50\% de chance — ou seja, é mais provável do que não que cheguem pelo menos quatro pessoas em 45 minutos. Força aí, esse tipo de conta é padrão em prova: identificar a média no intervalo e usar Poisson + complemento.

Resposta

0,51623

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