(2,0 pontos) O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. Um estudo sugere que o tempo de reação de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal de média 1,25 segundo e desvio padrão 0.46 segundo. Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1.00 e 1,75 segundo? Qual a probabilidade de que o tempo de reação seja menor que 1,45 ?

Passo 1

O enunciado nos dá que o tempo de reação X segue uma distribuição normal com média e desvio padrão conhecidos:
  • \mu = 1,25 segundo,
  • \sigma = 0,46 segundo.
O enunciado pede duas probabilidades:
  1. A probabilidade de que o tempo esteja entre 1,00 e 1,75; ou seja, calcular P(1,00 \le X \le 1,75).
  2. A probabilidade de que o tempo seja menor que 1,45; ou seja, calcular P(X < 1,45).

Passo 2

Vou explicar a ideia usada: para uma variável normal X \sim N(\mu,\sigma^2) é comum transformar X numa variável padronizada Z que tem distribuição normal padrão (média 0 e desvio 1). A fórmula da padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso faz com que probabilidades sobre X virem probabilidades sobre Z, que são encontradas em tabelas da normal padrão ou calculadoras. A propriedade de simetria da normal padrão é útil:
\Phi(-z)=1-\Phi(z),
onde \Phi(z)=P(Z\le z) é a função distribuição da normal padrão.

Passo 3

Transformar os pontos para Z para a primeira probabilidade P(1,00\le X\le 1,75).
Calcular z correspondente a X=1,00:
z_1=\frac{1,00-1,25}{0,46}=\frac{-0,25}{0,46}\approx -0,5435.
Calcular z correspondente a X=1,75:
z_2=\frac{1,75-1,25}{0,46}=\frac{0,50}{0,46}\approx 1,0870.
Portanto
P(1,00\le X\le 1,75)=P\big(-0,5435\le Z\le 1,0870\big).

Passo 4

Para calcular P(-0,5435\le Z\le 1,0870) usamos valores da tabela da normal padrão. Usando a simetria e a tabela:
P(-0,5435\le Z\le 1,0870)=\Phi(1,0870)-\Phi(-0,5435)=\Phi(1,0870)+\Phi(0,5435)-1.
Agora pegamos (ou aproximamos) os valores da tabela da normal padrão:
  • Para z\approx 1,0870: a tabela dá \Phi(1,08)=0,8599 e \Phi(1,09)=0,8621. Interpolando para 1,0870 obtemos aproximadamente \Phi(1,0870)\approx 0,8614.
  • Para z\approx 0,5435: a tabela dá \Phi(0,54)=0,7054 e \Phi(0,55)=0,7088. Interpolando para 0,5435 obtemos aproximadamente \Phi(0,5435)\approx 0,7066.
Substituindo:
P(1,00\le X\le 1,75)\approx 0,8614+0,7066-1=0,5680.
Interpretação: cerca de 56,80\% dos tempos de reação estão entre 1,00 e 1,75 segundos.

Passo 5

Agora a segunda probabilidade P(X<1,45). Primeiro padronizo:
z=\frac{1,45-1,25}{0,46}=\frac{0,20}{0,46}\approx 0,4348.
Então
P(X<1,45)=P(Z<0,4348)=\Phi(0,4348).
Usando a tabela: \Phi(0,43)=0,6664 e \Phi(0,44)=0,6700. Interpolando para 0,4348 (aproximadamente 0,435) obtemos
\Phi(0,4348)\approx 0,6682.
Interpretação: cerca de 66,82\% dos tempos de reação são menores que 1,45 segundo.

Passo 6

Resumo numérico e dica rápida para a prova: calcule sempre o z pela fórmula \,z=(x-\mu)/\sigma. Use a tabela da normal padrão para obter \Phi(z). Se o z não estiver exatamente na tabela, faça uma interpolação linear simples entre os dois valores mais próximos — isso dá precisão suficiente para provas. Respira fundo: a técnica é sempre a mesma e com prática fica mecânico.

Resposta

P(1,00\le X\le 1,75)\approx 0,5680
P(X<1,45)\approx 0,6682

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