(2,0 pontos) O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. Um estudo sugere que o tempo de reação de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal de média 1,25 segundo e desvio padrão 0.46 segundo. Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1.00 e 1,75 segundo? Qual a probabilidade de que o tempo de reação seja menor que 1,45 ?
Passo 1
O enunciado nos dá que o tempo de reação
segue uma distribuição normal com média e desvio padrão conhecidos:
-
segundo, -
segundo.
O enunciado pede duas probabilidades:
- A probabilidade de que o tempo esteja entre
e ; ou seja, calcular . - A probabilidade de que o tempo seja menor que
; ou seja, calcular .
Passo 2
Vou explicar a ideia usada: para uma variável normal
é comum transformar
numa variável padronizada
que tem distribuição normal padrão (média
e desvio
). A fórmula da padronização é
Isso faz com que probabilidades sobre
virem probabilidades sobre
, que são encontradas em tabelas da normal padrão ou calculadoras. A propriedade de simetria da normal padrão é útil:
onde
é a função distribuição da normal padrão.
Passo 3
Transformar os pontos para
para a primeira probabilidade
.
Calcular
correspondente a
:
Calcular
correspondente a
:
Portanto
Passo 4
Para calcular
usamos valores da tabela da normal padrão. Usando a simetria e a tabela:
Agora pegamos (ou aproximamos) os valores da tabela da normal padrão:
- Para
: a tabela dá e . Interpolando para obtemos aproximadamente . - Para
: a tabela dá e . Interpolando para obtemos aproximadamente .
Substituindo:
Interpretação: cerca de
dos tempos de reação estão entre
e
segundos.
Passo 5
Agora a segunda probabilidade
. Primeiro padronizo:
Então
Usando a tabela:
e
. Interpolando para
(aproximadamente
) obtemos
Interpretação: cerca de
dos tempos de reação são menores que
segundo.
Passo 6
Resumo numérico e dica rápida para a prova: calcule sempre o
pela fórmula
. Use a tabela da normal padrão para obter
. Se o
não estiver exatamente na tabela, faça uma interpolação linear simples entre os dois valores mais próximos — isso dá precisão suficiente para provas. Respira fundo: a técnica é sempre a mesma e com prática fica mecânico.