(5 pontos) Um secador de leito fluidizado de seção transversal de
, é utilizado para secar sementes de maracujá utilizando ar a temperatura de
. A altura do leito no seu estado fixo equivale a 20 cm e as propriedades físicas das sementes de maracujá, em diferentes umidades, são apresentadas na tabela abaixo.
Considere a esfericidade das sementes igual a 0,76.
Obtenha os parâmetros de velocidade, porosidade, altura e perda de carga na condição de mínima fluidização.
Umidade
0,493
5,034
1108,0
0,408
4,967
1114,4
0,295
4,922
1110,9
0,211
4,894
1092,3
Plus: Obtenha a potência do soprador utilizado para no secador.
Considere a esfericidade das sementes igual a 0,76.
Obtenha os parâmetros de velocidade, porosidade, altura e perda de carga na condição de mínima fluidização.
| Umidade
|
|
|
| 0,493 | 5,034 | 1108,0 |
| 0,408 | 4,967 | 1114,4 |
| 0,295 | 4,922 | 1110,9 |
| 0,211 | 4,894 | 1092,3 |
Passo 1
O problema pede que eu calcule, para a condição de mínima fluidização do leito:
- a velocidade de mínima fluidização
, - a porosidade na mínima fluidização
, - a altura do leito em mínima fluidização
, - a perda de carga através do leito na condição de mínima fluidização
,
e, adicionalmente, a potência necessária do soprador para manter essa condição.
Dados fornecidos (vou listar numericamente para facilitar):
Tabela de propriedades (cada linha será tratada separadamente):
Observações importantes (decisões/assunções que precisam ser feitas e que não foram dadas no enunciado):
- Não foi fornecida a porosidade do leito no estado fixo (empacotado). Vou assumir uma porosidade típica de leito empacotado para partículas grosseiras:
. Essa é uma escolha padrão (empacotamento aleatório ~0{,}36–0{,}40); sem essa hipótese não há como calcular expansão do leito e numérico. - Usarei
. - Para calcular
(número de Reynolds em mínima fluidização) vou usar a correlação empírica de Wen & Yu na forma prática onde é o número de Archimedes. Essa correlação é muito utilizada em problemas de fluidização para estimar de partículas relativamente grandes (é uma forma prática para obter a partir de ). Depois, usarei a equação de Ergun para determinar a porosidade associada a esse . - Para a potência do soprador darei a potência hidráulica exigida pela vazão e pela queda de pressão
e também apresentarei uma potência do motor considerando uma eficiência típica de sopradores (valores de eficiência industrial comumente usados quando não informados).
A resolução numérica começará no próximo passo.
Passo 2
Apresento as fórmulas que vou usar e explico cada variável (aula curta para você entender o que cada coisa significa):
- Número de Archimedes
. Ele compara forças gravitacionais com forças viscosas e entra em correlações que envolvem arrasto e fluidização:
onde:
-
é o diâmetro característico da partícula (vou usar fornecido, transformado para metros), -
é a densidade do fluido (ar), aqui , -
é a densidade da partícula (cada linha da tabela), -
é a gravidade, -
é a viscosidade do fluido (ar), .
- Correlação de Wen & Yu (usada aqui para obter
):
Explicação:
. Essa correlação fornece
a partir de
de forma empírica.
- Relação entre
e :
- Equação de Ergun na forma específica usada para mínima fluidização (obtida ao igualar a perda de carga por unidade de comprimento ao peso aparente por unidade de volume do leito):
Explicação: essa equação surge de substituir a perda de carga de Ergun (componentes viscoso e inercial) pela força peso específica e reescrever em termos adimensionais (Ar e Re). Aqui a incógnita é
(aparentemente também
, mas já obtivemos
pela correlação de Wen & Yu; daí obtemos
numericamente).
- Altura do leito em mínima fluidização (conservação de volume/solidos):
massa/volume de sólidos por unidade de área é conservada. Chamandoa porosidade do leito empacotado (fixa; assumi ):
- Perda de carga do leito em mínima fluidização:
a queda de pressão através do leito em mínima fluidização é igual ao peso por unidade de área dos sólidos:
Observação: essa expressão usa
(porosidade empacotada) porque a massa/área dos sólidos é dada pelo estado inicial empacotado; é equivalente a usar
(as duas formas dão o mesmo valor numérico se a conservação de sólidos for respeitada).
- Vazão volumétrica necessária na mínima fluidização:
- Potência hidráulica do soprador:
Potência do motor (assumindo eficiência
):
Nos próximos passos aplico essas fórmulas numericamente para cada linha da tabela, mostrando as contas.
Passo 3
Vou fazer as contas linha a linha. Primeiro converto diâmetro para metros e calculo
. Mostro os cálculos principais com arredondamentos sensatos para não perder a leitura.
Constantes:
Vou numerar as linhas como 1…4 conforme a tabela.
Linha 1 (umidade
,
,
):
- converter
:
- calcular
:
Numérico passo a passo:
- usar Wen & Yu para
:
- obter
:
- determinar
usando a equação de Ergun rearranjada:
Vou resolver numericamente essa equação para
(fácil com um método de bisseção/interpolação). Defino a função:
Procurando raiz em
. Avaliações rápidas dão mudança de sinal entre
(f positiva) e
(f negativa), então faço interpolação linear e encontro
(na resolução mostro os valores intermediários; esse valor é coerente com o resultado da interpolação).
- altura em mínima fluidização:
- perda de carga:
- vazão e potência:
Linha 1 — resumo parcial (vou repetir a mesma sequência para as demais linhas; os passos são os mesmos, só mudam os números).
Passo 4
Cálculos para a Linha 2 (umidade
,
,
):
-
-
calculado passo a passo:
- Wen & Yu:
-
-
resolver Ergun para
(mesma técnica de interpolação): obtém-se
Passo 5
Cálculos para a Linha 3 (umidade
,
,
):
-
-
:
- Wen & Yu:
-
-
Ergun
(novamente muito próximo). -
-
-
Passo 6
Cálculos para a Linha 4 (umidade
,
,
):
-
-
:
- Wen & Yu:
-
-
Ergun
(novamente muito perto). -
-
-
Passo 7
Comentários e verificação de coerência (breve):
- Observou-se que
resulta praticamente o mesmo em todas as linhas ( ). Isso é coerente porque as variações de diâmetro e densidade na tabela são pequenas, então e também variam pouco. - A velocidade de mínima fluidização é relativamente alta (
) porque as sementes têm diâmetro da ordem de (partículas relativamente grandes exigem velocidades maiores para fluidizar). - A perda de carga é da ordem de
, a potência hidráulica necessária está em torno de . Com eficiência do soprador assumida isto requer motores de aproximadamente , valores típicos para pequenas instalações.
Resposta
Umidade
:
potência hidráulica
\ )
Umidade
:
Umidade
:
Umidade
: