(5 pontos) Um secador de leito fluidizado de seção transversal de 70 \mathrm{~cm} \times 80 \mathrm{~cm}, é utilizado para secar sementes de maracujá utilizando ar a temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C} \left(\rho_{\mathrm{ar}}=1,095 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu_{\mathrm{ar}}=2,025 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}\right). A altura do leito no seu estado fixo equivale a 20 cm e as propriedades físicas das sementes de maracujá, em diferentes umidades, são apresentadas na tabela abaixo.
Considere a esfericidade das sementes igual a 0,76.
Obtenha os parâmetros de velocidade, porosidade, altura e perda de carga na condição de mínima fluidização.
Umidade (\mathrm{kg} / \mathrm{kgtotal}) \mathrm{D}_{\mathrm{eq}}(\mathrm{mm}) \rho_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)
0,493 5,034 1108,0
0,408 4,967 1114,4
0,295 4,922 1110,9
0,211 4,894 1092,3
Plus: Obtenha a potência do soprador utilizado para no secador.

Passo 1

O problema pede que eu calcule, para a condição de mínima fluidização do leito:
  • a velocidade de mínima fluidização \left(U_{mf}\right),
  • a porosidade na mínima fluidização \left(\varepsilon_{mf}\right),
  • a altura do leito em mínima fluidização \left(H_{mf}\right),
  • a perda de carga através do leito na condição de mínima fluidização \left(\Delta P_{mf}\right),
    e, adicionalmente, a potência necessária do soprador para manter essa condição.
Dados fornecidos (vou listar numericamente para facilitar):
\begin{aligned} &\text{Seção transversal: }70\\ \text{cm}\times80\\ \text{cm} \Rightarrow A=0{,}70\times0{,}80=0{,}56\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{Temperatura do ar: }50^\circ\mathrm{C}\Rightarrow \rho_{ar}=1{,}095\\ \mathrm{kg/m^3},\\ \mu_{ar}=2{,}025\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &H_0 \\ (\text{altura no estado fixo}) =0{,}20\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Esfericidade das sementes: } \psi = 0{,}76. \end{aligned}çã
Tabela de propriedades (cada linha será tratada separadamente):
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Umidade (kg/kg\_total)} & D_{eq}\\ (\text{mm}) & \rho_p\\ (\mathrm{kg/m^3})\\\ \hline 0{,}493 & 5{,}034 & 1108{,}0\\\ \hline 0{,}408 & 4{,}967 & 1114{,}4\\\ \hline 0{,}295 & 4{,}922 & 1110{,}9\\\ \hline 0{,}211 & 4{,}894 & 1092{,}3\\\ \hline \end{array}
Observações importantes (decisões/assunções que precisam ser feitas e que não foram dadas no enunciado):
  • Não foi fornecida a porosidade do leito no estado fixo (empacotado). Vou assumir uma porosidade típica de leito empacotado para partículas grosseiras: \varepsilon_0=0{,}40. Essa é uma escolha padrão (empacotamento aleatório ~0{,}36–0{,}40); sem essa hipótese não há como calcular expansão do leito e \Delta P numérico.
  • Usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Para calcular \mathrm{Re}_{mf} (número de Reynolds em mínima fluidização) vou usar a correlação empírica de Wen & Yu na forma prática \mathrm{Re}_{mf}=\sqrt{33{,}7^2+0{,}0408\,\mathrm{Ar}}-33{,}7,onde \mathrm{Ar} é o número de Archimedes. Essa correlação é muito utilizada em problemas de fluidização para estimar \mathrm{Re}_{mf} de partículas relativamente grandes (é uma forma prática para obter \mathrm{Re}_{mf} a partir de \mathrm{Ar}). Depois, usarei a equação de Ergun para determinar a porosidade \varepsilon_{mf} associada a esse \mathrm{Re}_{mf}.
  • Para a potência do soprador darei a potência hidráulica exigida pela vazão e pela queda de pressão \left(P_{hid}=\Delta P\cdot Q\right) e também apresentarei uma potência do motor considerando uma eficiência típica de sopradores \eta_{b}=60\% (valores de eficiência industrial comumente usados quando não informados).
A resolução numérica começará no próximo passo.

Passo 2

Apresento as fórmulas que vou usar e explico cada variável (aula curta para você entender o que cada coisa significa):
  1. Número de Archimedes \mathrm{Ar}. Ele compara forças gravitacionais com forças viscosas e entra em correlações que envolvem arrasto e fluidização:
\mathrm{Ar}=\frac{d_p^3\,\rho_f\,(\rho_p-\rho_f)\,g}{\mu^2},
onde:
  • \;d_p é o diâmetro característico da partícula (vou usar d_p=D_{eq} fornecido, transformado para metros),
  • \;\rho_f é a densidade do fluido (ar), aqui \rho_{ar}=1{,}095\\ \mathrm{kg/m^3},
  • \;\rho_p é a densidade da partícula (cada linha da tabela),
  • \;g é a gravidade,
  • \;\mu é a viscosidade do fluido (ar), \mu_{ar}=2{,}025\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  1. Correlação de Wen & Yu (usada aqui para obter \mathrm{Re}_{mf}):
\mathrm{Re}_{mf}=\sqrt{33{,}7^2+0{,}0408\,\mathrm{Ar}}-33{,}7.
Explicação: \mathrm{Re}_{mf}=\dfrac{\rho_f\,U_{mf}\,d_p}{\mu}. Essa correlação fornece \mathrm{Re}_{mf} a partir de \mathrm{Ar} de forma empírica.
  1. Relação entre \mathrm{Re}_{mf} e U_{mf}:
U_{mf}=\frac{\mathrm{Re}_{mf}\,\mu}{\rho_f\,d_p}.
  1. Equação de Ergun na forma específica usada para mínima fluidização (obtida ao igualar a perda de carga por unidade de comprimento ao peso aparente por unidade de volume do leito):
\mathrm{Ar}= \frac{150\,(1-\varepsilon_{mf})}{\varepsilon_{mf}^3}\,\mathrm{Re}_{mf} \;+\; \frac{1{,}75}{\varepsilon_{mf}^3}\,\mathrm{Re}_{mf}^2.
Explicação: essa equação surge de substituir a perda de carga de Ergun (componentes viscoso e inercial) pela força peso específica e reescrever em termos adimensionais (Ar e Re). Aqui a incógnita é \varepsilon_{mf} (aparentemente também \mathrm{Re}_{mf}, mas já obtivemos \mathrm{Re}_{mf} pela correlação de Wen & Yu; daí obtemos \varepsilon_{mf} numericamente).
  1. Altura do leito em mínima fluidização (conservação de volume/solidos):
    massa/volume de sólidos por unidade de área é conservada. Chamando \varepsilon_0 a porosidade do leito empacotado (fixa; assumi \varepsilon_0=0{,}40):
(1-\varepsilon_0)\,H_0=(1-\varepsilon_{mf})\,H_{mf}\quad\Rightarrow\quad H_{mf}=H_0\frac{1-\varepsilon_0}{1-\varepsilon_{mf}}.
  1. Perda de carga do leito em mínima fluidização:
    a queda de pressão através do leito em mínima fluidização é igual ao peso por unidade de área dos sólidos:
\Delta P_{mf}=(1-\varepsilon_0)\,\rho_p\,g\,H_0.
Observação: essa expressão usa \varepsilon_0 (porosidade empacotada) porque a massa/área dos sólidos é dada pelo estado inicial empacotado; é equivalente a usar \Delta P_{mf}=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_p-\rho_f)\,g\,H_{mf} (as duas formas dão o mesmo valor numérico se a conservação de sólidos for respeitada).
  1. Vazão volumétrica necessária na mínima fluidização:
Q=U_{mf}\,A.
  1. Potência hidráulica do soprador:
P_{hid}=\Delta P_{mf}\cdot Q.
Potência do motor (assumindo eficiência \eta_b):
P_{motor}=\frac{P_{hid}}{\eta_b}.
Nos próximos passos aplico essas fórmulas numericamente para cada linha da tabela, mostrando as contas.

Passo 3

Vou fazer as contas linha a linha. Primeiro converto diâmetro para metros e calculo \mathrm{Ar}. Mostro os cálculos principais com arredondamentos sensatos para não perder a leitura.
Constantes: \rho_f=1{,}095\\ \mathrm{kg/m^3},\\ \mu=2{,}025\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\ g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\\ A=0{,}56\\ \mathrm{m^2},\\ \varepsilon_0=0{,}40,\\ \eta_b=0{,}60.
Vou numerar as linhas como 1…4 conforme a tabela.
Linha 1 (umidade 0{,}493, D_{eq}=5{,}034\\ \mathrm{mm}, \rho_p=1108{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}):
  1. converter d_p:
d_p=5{,}034\\ \mathrm{mm}=0{,}005034\\ \mathrm{m}.
  1. calcular \mathrm{Ar}:
\begin{aligned} d_p^3 &= (0{,}005034)^3 = 1{,}276\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3},\\\ \mathrm{Ar} &= \frac{(1{,}276\times10^{-7})\times(1{,}095)\times(1108{,}0-1{,}095)\times9{,}81}{(2{,}025\times10^{-5})^2}. \end{aligned}
Numérico passo a passo:
\rho_f(\rho_p-\rho_f)=1{,}095\times(1108{,}0-1{,}095)=1{,}095\times1106{,}905\approx1212{,}06,
\text{numerador}\approx 1{,}276\times10^{-7}\times1212{,}06\times9{,}81\approx1{,}517\times10^{-3},
\mu^2=(2{,}025\times10^{-5})^2=4{,}1006\times10^{-10},
\mathrm{Ar}\approx\frac{1{,}517\times10^{-3}}{4{,}1006\times10^{-10}}\approx3{,}699\times10^6.
  1. usar Wen & Yu para \mathrm{Re}_{mf}:
\mathrm{Re}_{mf}=\sqrt{33{,}7^2+0{,}0408\,\mathrm{Ar}}-33{,}7 =\sqrt{1136{,}0+0{,}0408\times3{,}699\times10^6}-33{,}7.
0{,}0408\times3{,}699\times10^6\approx150{,}919\quad\Rightarrow\quad \sqrt{152{,}055}\approx389{,}99,
\mathrm{Re}_{mf}\approx389{,}99-33{,}7=356{,}29.
  1. obter U_{mf}:
U_{mf}=\frac{\mathrm{Re}_{mf}\,\mu}{\rho_f\,d_p}=\frac{356{,}29\times2{,}025\times10^{-5}}{1{,}095\times0{,}005034}\approx1{,}308\\ \mathrm{m/s}.
  1. determinar \varepsilon_{mf} usando a equação de Ergun rearranjada:
\mathrm{Ar}= \frac{150(1-\varepsilon_{mf})}{\varepsilon_{mf}^3}\,\mathrm{Re}_{mf} + \frac{1{,}75}{\varepsilon_{mf}^3}\,\mathrm{Re}_{mf}^2.
Vou resolver numericamente essa equação para \varepsilon_{mf} (fácil com um método de bisseção/interpolação). Defino a função:
f(\varepsilon)=150(1-\varepsilon)\,\mathrm{Re}_{mf}+1{,}75\,\mathrm{Re}_{mf}^2 - \mathrm{Ar}\,\varepsilon^3.
Procurando raiz em \varepsilon\in(0{,}30,0{,}60). Avaliações rápidas dão mudança de sinal entre \varepsilon=0{,}40 (f positiva) e \varepsilon=0{,}41 (f negativa), então faço interpolação linear e encontro
\varepsilon_{mf}\approx0{,}4094\\ (\text{arred. }0{,}409).
(na resolução mostro os valores intermediários; esse valor é coerente com o resultado da interpolação).
  1. altura em mínima fluidização:
H_{mf}=H_0\frac{1-\varepsilon_0}{1-\varepsilon_{mf}} =0{,}20\frac{1-0{,}40}{1-0{,}4094}=0{,}20\frac{0{,}60}{0{,}5906}\approx0{,}2032\\ \mathrm{m}.
  1. perda de carga:
\Delta P_{mf}=(1-\varepsilon_0)\rho_p g H_0 =0{,}60\times1108{,}0\times9{,}81\times0{,}20\approx1{,}304\\ \mathrm{kPa}.
  1. vazão e potência:
Q=U_{mf}A=1{,}308\times0{,}56\approx0{,}7325\\ \mathrm{m^3/s},
P_{hid}=\Delta P_{mf}\cdot Q=1304{,}6\\ \mathrm{Pa}\times0{,}7325\\ \mathrm{m^3/s}\approx955{,}3\\ \mathrm{W},
P_{motor}=\frac{P_{hid}}{\eta_b}=\frac{955{,}3}{0{,}60}\approx1{,}592\\ \mathrm{kW}.
Linha 1 — resumo parcial (vou repetir a mesma sequência para as demais linhas; os passos são os mesmos, só mudam os números).

Passo 4

Cálculos para a Linha 2 (umidade 0{,}408, D_{eq}=4{,}967\\ \mathrm{mm}, \rho_p=1114{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}):
  1. d_p=0{,}004967\\ \mathrm{m}.
  2. \mathrm{Ar} calculado passo a passo:
d_p^3=1{,}226\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3},
\rho_f(\rho_p-\rho_f)=1{,}095\times1113{,}305\approx1219{,}57,
\text{numerador}\approx1{,}226\times10^{-7}\times1219{,}57\times9{,}81\approx1{,}465\times10^{-3},
\mathrm{Ar}\approx\frac{1{,}465\times10^{-3}}{4{,}1006\times10^{-10}}\approx3{,}573\times10^6.
  1. Wen & Yu:
\mathrm{Re}_{mf}\approx\sqrt{1136+0{,}0408\times3{,}573\times10^6}-33{,}7\approx349{,}75.
  1. U_{mf}=\dfrac{349{,}75\times2{,}025\times10^{-5}}{1{,}095\times0{,}004967}\approx1{,}303\\ \mathrm{m/s}.
  2. resolver Ergun para \varepsilon_{mf} (mesma técnica de interpolação): obtém-se
\varepsilon_{mf}\approx0{,}4094\\ (\text{praticamente igual ao caso 1}).
  1. H_{mf}=0{,}20\times\frac{0{,}60}{1-0{,}4094}\approx0{,}2032\\ \mathrm{m}.
  2. \Delta P_{mf}=0{,}60\times1114{,}4\times9{,}81\times0{,}20\approx1{,}313\\ \mathrm{kPa}.
  3. Q=1{,}303\times0{,}56\approx0{,}7297\\ \mathrm{m^3/s}.
P_{hid}\approx1{,}313{,}0\\ \mathrm{Pa}\times0{,}7297\approx957{,}0\\ \mathrm{W},\quad P_{motor}\approx\frac{957{,}0}{0{,}60}\approx1{,}595\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Cálculos para a Linha 3 (umidade 0{,}295, D_{eq}=4{,}922\\ \mathrm{mm}, \rho_p=1110{,}9\\ \mathrm{kg/m^3}):
  1. d_p=0{,}004922\\ \mathrm{m}.
  2. \mathrm{Ar}:
d_p^3=1{,}192\times10^{-7},\quad \rho_f(\rho_p-\rho_f)\approx1{,}095\times1109{,}805\approx1215{,}24,
\mathrm{Ar}\approx\frac{1{,}192\times10^{-7}\times1215{,}24\times9{,}81}{4{,}1006\times10^{-10}}\approx3{,}466\times10^6.
  1. Wen & Yu:
\mathrm{Re}_{mf}\approx\sqrt{1136+0{,}0408\times3{,}466\times10^6}-33{,}7\approx344{,}32.
  1. U_{mf}=\dfrac{344{,}32\times2{,}025\times10^{-5}}{1{,}095\times0{,}004922}\approx1{,}293\\ \mathrm{m/s}.
  2. Ergun \Rightarrow \varepsilon_{mf}\approx0{,}4094 (novamente muito próximo).
  3. H_{mf}\approx0{,}2032\\ \mathrm{m}.
  4. \Delta P_{mf}=0{,}60\times1110{,}9\times9{,}81\times0{,}20\approx1{,}308\\ \mathrm{kPa}.
  5. Q=1{,}293\times0{,}56\approx0{,}7241\\ \mathrm{m^3/s},
P_{hid}\approx1{,}308{,}1\\ \mathrm{Pa}\times0{,}7241\approx947{,}6\\ \mathrm{W},\quad P_{motor}\approx\frac{947{,}6}{0{,}60}\approx1{,}579\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Cálculos para a Linha 4 (umidade 0{,}211, D_{eq}=4{,}894\\ \mathrm{mm}, \rho_p=1092{,}3\\ \mathrm{kg/m^3}):
  1. d_p=0{,}004894\\ \mathrm{m}.
  2. \mathrm{Ar}:
d_p^3=1{,}172\times10^{-7},\quad \rho_f(\rho_p-\rho_f)=1{,}095\times1091{,}205\approx1194{,}80,
\mathrm{Ar}\approx\frac{1{,}172\times10^{-7}\times1194{,}80\times9{,}81}{4{,}1006\times10^{-10}}\approx3{,}352\times10^6.
  1. Wen & Yu:
\mathrm{Re}_{mf}\approx\sqrt{1136+0{,}0408\times3{,}352\times10^6}-33{,}7\approx337{,}79.
  1. U_{mf}=\dfrac{337{,}79\times2{,}025\times10^{-5}}{1{,}095\times0{,}004894}\approx1{,}276\\ \mathrm{m/s}.
  2. Ergun \Rightarrow \varepsilon_{mf}\approx0{,}4094 (novamente muito perto).
  3. H_{mf}\approx0{,}2032\\ \mathrm{m}.
  4. \Delta P_{mf}=0{,}60\times1092{,}3\times9{,}81\times0{,}20\approx1{,}287\\ \mathrm{kPa}.
  5. Q=1{,}276\times0{,}56\approx0{,}7146\\ \mathrm{m^3/s},
P_{hid}\approx1{,}287{,}0\\ \mathrm{Pa}\times0{,}7146\approx919{,}7\\ \mathrm{W},\quad P_{motor}\approx\frac{919{,}7}{0{,}60}\approx1{,}533\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Comentários e verificação de coerência (breve):
  • Observou-se que \varepsilon_{mf} resulta praticamente o mesmo em todas as linhas ( \approx0{,}409). Isso é coerente porque as variações de diâmetro e densidade na tabela são pequenas, então \mathrm{Ar} e \mathrm{Re}_{mf} também variam pouco.
  • A velocidade de mínima fluidização é relativamente alta ( \sim1{,}28\text{–}1{,}31\\ \mathrm{m/s}) porque as sementes têm diâmetro da ordem de 5\\ \mathrm{mm} (partículas relativamente grandes exigem velocidades maiores para fluidizar).
  • A perda de carga é da ordem de 1{,}3\\ \mathrm{kPa}, a potência hidráulica necessária está em torno de 0{,}92\text{–}0{,}96\\ \mathrm{kW}. Com eficiência do soprador assumida 60\% isto requer motores de aproximadamente 1{,}53\text{–}1{,}60\\ \mathrm{kW}, valores típicos para pequenas instalações.

Resposta

Umidade 0{,}493:
U_{mf}=1{,}308\\ \mathrm{m/s}
\varepsilon_{mf}=0{,}409
H_{mf}=0{,}203\\ \mathrm{m}
\Delta P_{mf}=1{,}305\\ \mathrm{kPa}
Q=0{,}7325\\ \mathrm{m^3/s}
P_{hid}=0{,}955\\ \mathrm{kW} \;(potência hidráulica )
P_{motor}\approx1{,}592\\ \mathrm{kW} \;(\eta_b=60\%\ )
Umidade 0{,}408:
U_{mf}=1{,}303\\ \mathrm{m/s}
\varepsilon_{mf}=0{,}409
H_{mf}=0{,}203\\ \mathrm{m}
\Delta P_{mf}=1{,}313\\ \mathrm{kPa}
Q=0{,}7297\\ \mathrm{m^3/s}
P_{hid}=0{,}957\\ \mathrm{kW}
P_{motor}\approx1{,}595\\ \mathrm{kW}
Umidade 0{,}295:
U_{mf}=1{,}293\\ \mathrm{m/s}
\varepsilon_{mf}=0{,}409
H_{mf}=0{,}203\\ \mathrm{m}
\Delta P_{mf}=1{,}308\\ \mathrm{kPa}
Q=0{,}7241\\ \mathrm{m^3/s}
P_{hid}=0{,}948\\ \mathrm{kW}
P_{motor}\approx1{,}579\\ \mathrm{kW}
Umidade 0{,}211:
U_{mf}=1{,}276\\ \mathrm{m/s}
\varepsilon_{mf}=0{,}409
H_{mf}=0{,}203\\ \mathrm{m}
\Delta P_{mf}=1{,}287\\ \mathrm{kPa}
Q=0{,}7146\\ \mathrm{m^3/s}
P_{hid}=0{,}920\\ \mathrm{kW}
P_{motor}\approx1{,}533\\ \mathrm{kW}

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