Uma solução aquosa, com 2 \% em massa de sólidos dissolvidos, deve ser concentrada até 25 \% em um evaporador duplo efeito em contracorrente conforme o esquema. Qual a vazão de vapor vivo (S) necessária para o processo? Sabe-se que epe =0^{\circ} \mathrm{C}; a alimentação está a 30^{\circ} \mathrm{C}, o vapor vivo a 165^{\circ} \mathrm{C} e os evaporadores a 90^{\circ} \mathrm{C} ( 1^{\circ} efeito) e 39^{\circ} \mathrm{C} ( 2^{\circ} efeito). Admita saída \mathrm{L}_{1} =1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e que a vazão de vapor \mathrm{V}_{1} produzida é a mesma que o vapor V2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a vazão de vapor vivo \;S\; necessária para concentrar uma alimentação aquosa de 2\% (massa) de sólidos até 25\% usando um evaporador de dois efeitos em contracorrente. Dados fornecidos (vou listar tudo que serve para fluxo e balanço energético):
\text{Alimentação: }x_F=2\% \quad(\text{massa de sólidos})çãó
\text{Produto final (saída) }L_1=1000\\ \mathrm{kg/h}\quad\text{com }x_{L1}=25\%í
\text{Temperaturas: alimentação }30^\circ\mathrm{C},\quad\text{efeito 1 (ebulição) }90^\circ\mathrm{C},\quad\text{efeito 2 (ebulição) }39^\circ\mathrm{C}çãçãçã
\text{Vapor vivo (S) a }165^\circ\mathrm{C}
\text{Boiling point elevation (epe)}=0^\circ\mathrm{C}\\ (\text{portanto temperatura de ebulição = indicada})çã
\text{Suponha que }V_1=V_2\quad\text{(vazões de vapor produzidas em cada efeito iguais)}õ
O que precisamos encontrar: a vazão de vapor vivo \;S\;(\mathrm{kg/h}) necessária.

Passo 2

Como vou resolver (resumo do método, sem cálculos ainda): usarei balanços de massa (para determinar as vazões de alimentação e de vapor) e balanços de energia por efeito (considerando calor latente para evaporar e calor sensível para aquecer o líquido entre efeitos). A configuração contracorrente indica que a alimentação entra no efeito mais frio (39°C), sai parcialmente concentrada para o efeito mais quente (90°C) e dali sai como produto L_1. O vapor do efeito 1 é usado como agente térmico do efeito 2 (cadeia de dois efeitos), e o vapor vivo S condensa no efeito 1. Vou montar:
  • balanço de sólidos (massa) para achar a vazão de alimentação F;
  • balanço de massa de água evaporada: V_1+V_2=F-L_1;
  • usar a hipótese V_1=V_2 para achar V_1 e V_2;
  • balanço de energia no efeito 2 (aquece a alimentação de 30^\circ\mathrm{C} para 39^\circ\mathrm{C} e evapora V_2, fornecido por condensação de V_1);
  • balanço de energia no efeito 1 (vapor vivo S condensa liberando calor que evapora V_1 e aquece o líquido vindo do efeito 2 de 39^\circ\mathrm{C} para 90^\circ\mathrm{C});
  • combinar os balanços para obter S.
Vou considerar calor específico do líquido aproximado igual ao da água: \;c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Para os calores latentes usarei uma aproximação razoável a partir de tabelas de vapor (veja passo específico onde explico a aproximação escolhida).

Passo 3

Balanço de sólidos (conservação de massa de soluto). A massa de sólidos na alimentação é igual à massa de sólidos no produto:
F \cdot x_F = L_1 \cdot x_{L1}.
Substituindo \;x_F=0{,}02, \;x_{L1}=0{,}25 e \;L_1=1000\\ \mathrm{kg/h}:
F = \dfrac{L_1\cdot x_{L1}}{x_F} = \dfrac{1000\cdot 0{,}25}{0{,}02}.
Agora calculo:
F = \dfrac{250}{0{,}02} = 12500\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto a alimentação total é \;F=12500\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Balanço de massa para água evaporada: a vazão total de vapor gerada é
V_{\text{total}} = F - L_1 = 12500 - 1000 = 11500\\ \mathrm{kg/h}.
Pelo enunciado assumimos \;V_1=V_2. Então
V_1 = V_2 = \dfrac{V_{\text{total}}}{2} = \dfrac{11500}{2} = 5750\\ \mathrm{kg/h}.
Também a vazão líquida que sai do efeito 2 e entra no efeito 1 é
L_2 = F - V_2 = 12500 - 5750 = 6750\\ \mathrm{kg/h},
e confirma-se L_2 - V_1 = 6750 - 5750 = 1000 = L_1.

Passo 5

Balanços de energia por efeito — explicação didática antes de escrever as equações:
  • Cada quilograma de vapor que condensa libera seu calor latente de vaporização à temperatura de condensação (energia disponível para evaporar em outro efeito ou para aquecer solução). O calor necessário para evaporar 1 kg de água na temperatura de ebulição do efeito é aproximadamente o calor latente àquela temperatura, que chamaremos de h_{fg}(T) (em \mathrm{kJ/kg}).
  • Além do calor latente, há calor sensível necessário para elevar a temperatura do líquido que entra em cada efeito até a temperatura de ebulição desse efeito, dado por m\cdot c_p\cdot \Delta T.
  • Ignoramos perdas térmicas e consideramos que toda a energia liberada pela condensação é usada para aquecer/evaporar na etapa seguinte.
Agora escrevo os balanços:
Efeito 2 (o mais frio, ebulição a 39^\circ\mathrm{C}): o calor fornecido pela condensação do vapor V_1 a 90^\circ\mathrm{C} é usado para evaporar V_2 a 39^\circ\mathrm{C} e para aquecer a alimentação de 30^\circ\mathrm{C} até 39^\circ\mathrm{C}:
V_1\cdot h_{fg}(90^\circ\mathrm{C}) \;=\; V_2\cdot h_{fg}(39^\circ\mathrm{C}) \;+\; F\cdot c_p\cdot(39-30).
Efeito 1 (o mais quente, ebulição a 90^\circ\mathrm{C}): o calor cedido pela condensação do vapor vivo S a 165^\circ\mathrm{C} é usado para evaporar V_1 a 90^\circ\mathrm{C} e para aquecer o líquido que vem do efeito 2 de 39^\circ\mathrm{C} até 90^\circ\mathrm{C}:
S\cdot h_{fg}(165^\circ\mathrm{C}) \;=\; V_1\cdot h_{fg}(90^\circ\mathrm{C}) \;+\; L_2\cdot c_p\cdot(90-39).
Para eliminar o termo V_1\cdot h_{fg}(90^\circ\mathrm{C}) posso somar as duas equações ou substituir a primeira na segunda. Substituindo a primeira na segunda:
S\cdot h_{fg}(165^\circ\mathrm{C}) \;=\; V_2\cdot h_{fg}(39^\circ\mathrm{C}) \;+\; F\cdot c_p\cdot(39-30) \;+\; L_2\cdot c_p\cdot(90-39).
Essa é a expressão que nos dá S quando conhecemos os h_{fg}, c_p e as vazões (já achadas).

Passo 6

Escolha/estimativa dos calores latentes h_{fg}(T): precisamos de valores de \;h_{fg} para as temperaturas 165^\circ\mathrm{C}, 90^\circ\mathrm{C} e 39^\circ\mathrm{C}. Se tivéssemos uma tabela de vapor usaríamos valores tabelados. Para manter a resolução possível na prova sem tabela complexa, vou usar uma aproximação linear razoável entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}. Uma forma prática e comum de aproximar é:
h_{fg}(T)\approx 2501 - 2{,}326\;T\quad\text{(kJ/kg, com \(T\) em }^\circ\mathrm{C}\text{).}
Essa fórmula fornece valores próximos aos tabelados na faixa usada e é aceitável para cálculo de projeto didático (justificação: o calor latente decresce aproximadamente de modo quase linear com a temperatura na faixa 0–200°C). Vou aplicar essa aproximação.
Calculemos os três h_{fg}:
h_{fg}(165^\circ\mathrm{C}) \approx 2501 - 2{,}326\cdot 165 = 2501 - 383{,}79 = 2117{,}21\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{fg}(90^\circ\mathrm{C}) \approx 2501 - 2{,}326\cdot 90 = 2501 - 209{,}34 = 2291{,}66\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{fg}(39^\circ\mathrm{C}) \approx 2501 - 2{,}326\cdot 39 = 2501 - 90{,}714 = 2410{,}286\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Agora calculo os termos sensíveis e os termos com calores latentes numericamente. Relembre os valores de vazão:
F=12500\\ \mathrm{kg/h},\quad V_2=5750\\ \mathrm{kg/h},\quad L_2=6750\\ \mathrm{kg/h},\quad c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calor latente total para vapor em efeito 2:
V_2\cdot h_{fg}(39^\circ\mathrm{C}) = 5750\cdot 2410{,}286 \approx 13\,859\,144{,}5\\ \mathrm{kJ/h}.
Calor sensível para aquecer a alimentação de 30^\circ\mathrm{C} a 39^\circ\mathrm{C}:
F\cdot c_p\cdot(39-30) = 12500\cdot 4{,}18\cdot 9 = 12500\cdot 37{,}62 = 470\,250\\ \mathrm{kJ/h}.
Calor sensível para aquecer o líquido de 39^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C} no efeito 1:
L_2\cdot c_p\cdot(90-39) = 6750\cdot 4{,}18\cdot 51 = 6750\cdot 213{,}18 = 1\,438\,965\\ \mathrm{kJ/h}.
Somando os três termos do lado direito da equação do passo 5:
\text{RHS} = 13\,859\,144{,}5 + 470\,250 + 1\,438\,965 \approx 15\,768\,359{,}5\\ \mathrm{kJ/h}.

Passo 8

Finalmente calcule S pela expressão
S = \dfrac{\text{RHS}}{h_{fg}(165^\circ\mathrm{C})} = \dfrac{15\,768\,359{,}5}{2117{,}21}.
Fazendo a divisão:
S \approx 7447{,}7\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando de forma prática para a apresentação numa prova:
S \approx 7448\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação curta e motivadora: isso significa que para evaporar os 11500\\ \mathrm{kg/h} de água em dois efeitos (com \;V_1=V_2) e levando em conta os aquecimentos sensíveis, são necessários aproximadamente 7{,}45 toneladas por hora de vapor vivo a 165^\circ\mathrm{C}.

Resposta

S \approx 7448\\ \mathrm{kg/h}

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