( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
(c) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(d) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado apresenta quatro matrizes de coeficientes de sistemas lineares e pede, para cada uma, valores de x (e de y, quando houver) tais que o sistema correspondente tenha as propriedades indicadas.
Conteúdo principal: teoria de existência e unicidade de soluções via determinante (para matrizes quadradas) e posto (rank) da matriz (para casos não quadrados).
Ferramentas:
Seja A a matriz de coeficientes e \boldsymbol b o vetor de termos independentes.
Para matriz quadrada 2\times2, o sistema tem solução única para todo \boldsymbol b se, e somente se,
\det(A)\neq0.
Para matrizes m\times n com m\neq n, o sistema tem
0 ou infinitas soluções (depende de \boldsymbol b) se \rank(A)<\min\{m,n\},
solução única para todo \boldsymbol b se \rank(A)=\min\{m,n\}.
Passo 2
(a) A matriz é quadrada:
A=\begin{pmatrix}5&3\x&2\end{pmatrix}.
Queremos solução única para qualquer \boldsymbol b, logo
\det(A)=5\cdot2-3\cdot x \neq0 \;\Longrightarrow\; 10-3x\neq0 \;\Longrightarrow\; x\neq\frac{10}{3}.
Para ter 0 ou infinitas soluções conforme \boldsymbol b, precisamos de posto \rank(A)=1. Isso exige que todas as linhas sejam múltiplos da primeira:
existam k,m tais que
(3,1)=k\,(2,x), \quad (1,y)=m\,(2,x).
Da primeira igualdade k=3/2 e 1=(3/2)x dá x=2/3.
Da segunda m=1/2 e y=(1/2)x=(1/2)\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Passo 4
(c) A matriz é 2\times3:
A=\begin{pmatrix}4&2&x\\\ 3&y&2\end{pmatrix}.
Para ter infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b\in\mathbb R^2,
é preciso \rank(A)=2 (igual ao número de equações) e menor que o número
de incógnitas, garantindo infinitude. Logo basta que as duas linhas sejam
independentes, i.e. não proporcionais. Um modo prático é exigir um menor 2\times 2 não nulo, por exemplo