1. ( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
    (a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
    (c) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (d) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro matrizes de coeficientes de sistemas lineares e pede, para cada uma, valores de x (e de y, quando houver) tais que o sistema correspondente tenha as propriedades indicadas.
Conteúdo principal: teoria de existência e unicidade de soluções via determinante (para matrizes quadradas) e posto (rank) da matriz (para casos não quadrados).
Ferramentas:
  1. Seja A a matriz de coeficientes e \boldsymbol b o vetor de termos independentes.
  2. Para matriz quadrada 2\times2, o sistema tem solução única para todo \boldsymbol b se, e somente se,
\det(A)\neq0.
  1. Para matrizes m\times n com m\neq n, o sistema tem
  • 0 ou infinitas soluções (depende de \boldsymbol b) se \rank(A)<\min\{m,n\},
  • solução única para todo \boldsymbol b se \rank(A)=\min\{m,n\}.

Passo 2

(a) A matriz é quadrada:
A=\begin{pmatrix}5&3\x&2\end{pmatrix}.
Queremos solução única para qualquer \boldsymbol b, logo
\det(A)=5\cdot2-3\cdot x \neq0 \;\Longrightarrow\; 10-3x\neq0 \;\Longrightarrow\; x\neq\frac{10}{3}.

Passo 3

(b) A matriz é 3\times2:
A=\begin{pmatrix}2 & x\\\ 3 & 1\\\ 1 & y\end{pmatrix}.
Para ter 0 ou infinitas soluções conforme \boldsymbol b, precisamos de posto \rank(A)=1. Isso exige que todas as linhas sejam múltiplos da primeira:
existam k,m tais que
(3,1)=k\,(2,x), \quad (1,y)=m\,(2,x).
Da primeira igualdade k=3/2 e 1=(3/2)x x=2/3.
Da segunda m=1/2 e y=(1/2)x=(1/2)\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 4

(c) A matriz é 2\times3:
A=\begin{pmatrix}4&2&x\\\ 3&y&2\end{pmatrix}.
Para ter infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b\in\mathbb R^2,
é preciso \rank(A)=2 (igual ao número de equações) e menor que o número
de incógnitas, garantindo infinitude. Logo basta que as duas linhas sejam
independentes, i.e. não proporcionais. Um modo prático é exigir um menor
2\times 2 não nulo, por exemplo
\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 3&y\end{pmatrix} =4y-6\neq0 \;\Longrightarrow\; y\neq\frac{3}{2}.
Observamos que x fica livre (pois basta um menor não nulo para ter posto 2).

Passo 5

(d) A matriz é 2\times3:
A=\begin{pmatrix}x&6&2\\\ 3&4&y\end{pmatrix}.
Queremos 0 ou infinitas soluções conforme \boldsymbol b, logo \rank(A)=1. As linhas devem ser proporcionais:
(x,6,2)=k\,(3,4,y).
Da segunda componente 6=4k vem k=3/2.
Então x=3k=3\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2} e 2=yk y=2/(3/2)=\frac{4}{3}.

Resposta

(a) x\neq \tfrac{10}{3}.
(b) x=\tfrac{2}{3},\;y=\tfrac{1}{3}.
(c) y\neq \tfrac{3}{2} (qualquer x).
(d) x=\tfrac{9}{2},\;y=\tfrac{4}{3}.

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