( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
(c) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(d) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes que são coeficientes de sistemas lineares de dimensões variadas e pede valores de x e y para que o sistema tenha (a) sempre única solução; (b) 0 ou infinitas soluções dependendo de \boldsymbol b; (c) sempre infinitas soluções; (d) 0 ou infinitas soluções dependendo de \boldsymbol b.
Conteúdo principal: testar invertibilidade (determinante não nulo) ou analisar o posto (rank) da matriz de coeficientes para determinar existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Para (a) temos uma matriz 2\times2:
A=\begin{pmatrix}5 & 3\\\ x & 2\end{pmatrix}.
Um sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b tem solução única para todo \boldsymbol b se, e só se, \det A\neq0. Calculamos
Aqui há 3 equações e 2 incógnitas. Para nunca ter solução única mas sim 0 ou infinitas (dependendo de \boldsymbol b) é preciso que \rank A<2. Como \rank A\le2, exigimos \rank A=1, i.e.\ todas as linhas são proporcionais. Seja a primeira linha vetor gerador, então
A=\begin{pmatrix}4 & 2 & x\\\\ 3 & y & 2\end{pmatrix}.
Aqui há 2 equações e 3 incógnitas. Para toda \boldsymbol b existir solução infinita, precisamos sempre de consistência (sempre vale \rank A=\rank[A|\boldsymbol b]) e \rank A<3. Como \rank A\le2<3, basta exigir \rank A=2 (linhas independentes) para garantir que para qualquer \boldsymbol b o sistema seja consistente e tenha infinitas soluções. Linhas proporcionais só se
Novamente há 2 equações e 3 incógnitas, logo \rank A\le2<3 em qualquer caso, o que impede solução única. Se \boldsymbol b não estiver no espaço coluna de A, não há solução; se estiver, há infinitas. Portanto a propriedade “0 ou infinitas soluções conforme \boldsymbol b” vale para todos os valores de x e y.