As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
( 3,0 pontos)
(0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 2 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 3 & 1\\\\ 2 & y \end{pmatrix}
de um sistema A\,(u,v)^{T}=b com duas incógnitas e três equações. Queremos que o sistema tenha ou nenhuma solução, ou infinitas soluções, dependendo de b=(b_{1},b_{2},b_{3}). Isso ocorre quando \mathrm{rank}(A)< número de incógnitas (aí o sistema é subdeterminado) e ainda é possível ficar inconsistente. Logo, precisamos de
\mathrm{rank}(A)=1<2.

Passo 2

Para ter \mathrm{rank}(A)=1, as duas colunas de A devem ser linearmente dependentes. Sejam
\text{col}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}, \quad \text{col}_2 = \begin{pmatrix}x\\\ 1\y\end{pmatrix}.
Buscamos k tal que
\begin{pmatrix}x\\\ 1\y\end{pmatrix} = k \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Desse vetor temos o sistema
x = k,\quad 1 = 3k,\quad y = 2k.
Da segunda equação k = \tfrac13. Assim
x = \tfrac13, \quad y = 2\cdot\tfrac13 = \tfrac23.

Passo 4

Com x=\tfrac13 e y=\tfrac23, \mathrm{rank}(A)=1.
  • Se b estiver na imagem de A, isto é, b = t\,(1,3,2)^{T} para algum t, o sistema é consistente com uma variável livre → infinitas soluções.
  • Se b não estiver nesse subespaço, o sistema é inconsistente → nenhuma solução.

Resposta

x=\tfrac13 e y=\tfrac23.

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