As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
( 3,0 pontos) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 2 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 3 & 1\\\\ 2 & y \end{pmatrix}
de um sistema A\,(u,v)^{T}=b com duas incógnitas e três equações. Queremos que o sistema tenha ou nenhuma solução, ou infinitas soluções, dependendo de b=(b_{1},b_{2},b_{3}). Isso ocorre quando \mathrm{rank}(A)< número de incógnitas (aí o sistema é subdeterminado) e ainda é possível ficar inconsistente. Logo, precisamos de
\mathrm{rank}(A)=1<2.
Passo 2
Para ter \mathrm{rank}(A)=1, as duas colunas de A devem ser linearmente dependentes. Sejam