(2.5 pontos) Seja
.
(a) Verifique se o campo vetorial
é conservativo. Caso seja, determine uma funçāo potencial para
.
(b) Calcule
onde
variando de 0 a 1 .
(a) Verifique se o campo vetorial
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede: (a) verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial; (b) calcular
onde
,
.
O conteúdo é campos conservativos em e o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
O conteúdo é campos conservativos em
Passo 2
Para saber se
é conservativo em
(simplesmente conexa), comparamos
Calculamos
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
satisfazendo
integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Agora impomos
logo
é constante. Podemos tomar
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha de
a
é
Temos
então
e
Resposta
(a)
é conservativo e uma função potencial é
(b)