(2.5 pontos) Seja F(x, y)=(y^2 cos x, 2 y sen x).
(a) Verifique se o campo vetorial F(x, y) é conservativo. Caso seja, determine uma funçāo potencial para F(x, y).
(b) Calcule integralC F cdot d r onde C(t)=(t^2+t^3, t^5), t variando de 0 a 1 .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=l(y^2cos x,;2ysin xr)
e pede: (a) verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial; (b) calcular
integralCFcdot d r
onde C(t)=(t^2+t^3,,t^5), 0<= t<=1.
O conteúdo é campos conservativos em R^2 e o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Para saber se F=(P,Q) é conservativo em R^2 (simplesmente conexa), comparamos
P(x,y)=y^2cos x, Q(x,y)=2ysin x
Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(y^2cos xr) =2ycos x,
partial Qpartial x =partialpartial xl(2ysin xr) =2ycos x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y) satisfazendo
partial phipartial x=P=y^2cos x,
integramos em relação a x:
phi(x,y)=integral y^2cos x,dx =y^2sin x+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar. Agora impomos
partial phipartial y =2ysin x+g'(y) =Q=2ysin x Longrightarrow g'(y)=0
logo g(y) é constante. Podemos tomar
phi(x,y)=y^2sin x

Passo 4

Como F é conservativo, a integral de linha de 0 a 1 é
integralCFcdot d r =phil(C(1)r)-phil(C(0)r)
Temos
C(1)=(1^2+1^3,,1^5)=(2,1), C(0)=(0,0),
então
phi(2,1)=1^2sin2=sin2, phi(0,0)=0^2sin0=0,
e
integralCFcdot d r =sin2-0=sin2

Resposta

(a) F é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y)=y^2sin x
(b)
integralCFcdot d r=sin2

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