Sejam T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) e S: \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) as transformações lineares definidas por T(q)=q^{\prime}, para todo q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), e S\left(a_{0}+a_{1} x\right)=a_{0}+a_{0} x+\frac{a_{1}}{2} x^{2}, para todos a_{0}, a_{1} \in \mathbb{R}, e seja H: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) o operador linear dado por H=S \circ T. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A) O polinômio característico de H é p(t)=-t(1-t)^{2}.
(B) \operatorname{Ker}(H-I)=\left[x^{2}\right], onde I denota o operador identidade de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
(C) H é diagonalizável.
(D) \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(H))=1.
(E) Os únicos autovalores de H são 0 e 1 .

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) e S:\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definidas por
T(q)=q'
para todo q\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e
S\bigl(a_{0}+a_{1}x\bigr)=a_{0}+a_{0}x+\frac{a_{1}}{2}x^{2}
para todos a_{0},a_{1}\in\mathbb{R}. Foi definido o operador H=\;S\circ T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).\n
O que é pedido: identificar qual das alternativas (A)–(E) é FALSA.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar: a forma explícita de T (derivação) e de S (transforma um polinômio de grau \le1 num polinômio de grau \le2). Não há mais dados externos.

Passo 2

Vamos calcular H agindo num polinômio genérico de grau \le2. Tome
q(x)=a+b x+c x^{2},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Primeiro aplicamos T (derivada):
T(q)=q'(x)=b+2c x.
Agora aplicamos S ao resultado b+2c x. Pela definição de S,
S\bigl(b+2c x\bigr)=b + b x + \frac{2c}{2}x^{2}=b + b x + c x^{2}.
Portanto, para o polinômio genérico q(x)=a+bx+cx^{2} temos
H(q)(x)=b + b x + c x^{2}.

Passo 3

Interpretação em coordenadas: se representarmos q pelas coordenadas coluna \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} na base padrão \{1,x,x^{2}\}, então H envia
\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}\longmapsto \begin{pmatrix}b\\\ b\\\ c\end{pmatrix}.
Daí a matriz de H na base \{1,x,x^{2}\} é
[H]=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois cada coluna é a imagem da base: H(1)=0, H(x)=1+x, H(x^{2})=x^{2}.]

Passo 4

Vamos achar o polinômio característico de H. Como [H]-tI é triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal:
\det([H]-tI)=(-t)\,(1-t)\,(1-t).
Logo o polinômio característico é
p(t)=-t(1-t)^{2}.
Isto confirma a alternativa (A).

Passo 5

Os autovalores são as raízes de p(t). Das fatorizações obtemos os autovalores \;t=0 (multiplicidade algébrica 1) e \;t=1 (multiplicidade algébrica 2). Portanto os únicos autovalores são 0 e 1, o que mostra que a alternativa (E) é verdadeira.

Passo 6

Calculemos \operatorname{Ker}(H). Resolver H(q)=0 equivale a
(b,b,c)=(0,0,0),
ou seja b=0 e c=0, sem restrição em a. Logo
\operatorname{Ker}(H)=\{a\cdot 1 \mid a\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{1\},
e portanto \dim(\operatorname{Ker}(H))=1. Isso mostra que a alternativa (D) é verdadeira.

Passo 7

Agora calculemos \operatorname{Ker}(H-I), isto é o espaço próprio associado ao autovalor 1. Resolver H(q)=q com q(x)=a+bx+cx^{2} equivale a
(b,b,c)=(a,b,c).
Igualando coordenadas obtemos a=b, b=b (automático) e c=c (automático). Logo os vetores fixos por H são exatamente os polinômios da forma
q(x)=a+ax+cx^{2}=a(1+x)+c x^{2},
com a,c\in\mathbb{R}. Assim
\operatorname{Ker}(H-I)=\operatorname{span}\{\,1+x,\;x^{2}\,\},
que é um subespaço de dimensão 2. Portanto a afirmação (B), que diz \operatorname{Ker}(H-I)=[x^{2}] (ou seja dimensão 1), está incorreta.

Passo 8

Verificação da diagonalizabilidade: para ser diagonalizável num espaço de dimensão 3 é necessário que a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores seja 3. Aqui a multiplicidade algébrica de 0 é 1 e sua multiplicidade geométrica é \dim\operatorname{Ker}(H)=1. A multiplicidade algébrica de 1 é 2 e a multiplicidade geométrica é \dim\operatorname{Ker}(H-I)=2. Soma das multiplicidades geométricas =1+2=3, logo H é diagonalizável. Assim (C) é verdadeira.

Passo 9

Recapitulando as verificações:
  • (A) verdadeira (polinômio característico -t(1-t)^{2});
  • (B) falsa (na realidade \operatorname{Ker}(H-I)=\operatorname{span}\{1+x,x^{2}\}, dimensão 2);
  • (C) verdadeira ( H é diagonalizável);
  • (D) verdadeira ( \dim\operatorname{Ker}(H)=1);
  • (E) verdadeira (autovalores apenas 0 e 1).

Resposta

(B)

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