(4 pontos) Seja v(t, x, y, z) um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região D no espaço e seja p(t, x, y, z) uma função escalar continuamente diferenciável. A variável t representa o domínio do tempo. A lei de conservação da massa afirma que
dd t integral triplaD p(t, x, y, z) d V=-integral duplaS p v cdot n d sigma
onde S é a superfície que engloba D.
a) Use o teorema da divergência para mostrar que a lei da conservação da massa é equivalente à equação de continuidade
partial ppartial t+nabla cdot(p v)=0
b) Seja T(t, x, y, z) uma função de classe C^2 que dá a temperatura no instante t no ponto ( x, y, z ) de um sólido que ocupa uma região D no espaço. Se o vetor de fluxo de energia é -k nabla T (aqui k é chamada condutividade térmica), considerando a lei da conservação da massa com v=-k nabla T e a energia calorífica por unidade de volume c rho T=p, deduza a equação de difusão de calor
partial Tpartial t=K nabla^2 T
onde K=k /(c rho) é a constante de difusão.

Passo 1

O enunciado trata de duas leis de conservação em uma região fixa Dsubset R^3. Na parte (a) temos a conservação de massa para uma densidade p(t,x,y,z) e um campo de velocidades v(t,x,y,z), dados pela fórmula
ddtintegral triplaDp,dV ;=; -integral duplaSp, vcdot n,dsigma
Para transformar essa lei numa equação diferencial local, vamos usar a propriedade de trocar derivada e integral (porque D é fixo) e o Teorema da Divergência.
Na parte (b) aplicamos a mesma forma geral de conservação, mas agora para a energia térmica: a densidade de energia por volume é p=crho T e o fluxo de energia é -knabla T. Substituindo esses dados na equação de continuidade, obtemos a equação de difusão do calor.

Passo 2

Começamos com
ddtintegral triplaDp(t, x),dV ;=; integral triplaDpartial ppartial t(t, x),dV,
pois D é fixo e p é C^1. A lei de conservação diz que isso vale
-integral duplaSp, vcdot n,dsigma
Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSp, vcdot n,dsigma = integral triplaDnablacdotl(p, vr),dV
Logo
integral triplaDpartial ppartial t,dV =-integral triplaDnablacdotl(p, vr),dV ;;Longrightarrow;; integral triplaDl(partial ppartial t+nablacdot(p, v)r),dV=0
Como D é arbitrária e a integranda é contínua, o integrando deve anular-se em cada ponto, chegando à equação de continuidade
partial ppartial t + nablacdotl(p, vr)=0

Passo 3

Para deduzir a equação do calor, tomamos a lei de conservação geral com
p=c,rho,T, fluxo de energia=-knabla T
Na forma local de continuidade temos
partial ppartial t + nablacdot(fluxo)=0 ;;Longrightarrow;; partial (crho T)partial t +nablacdot(-knabla T)=0
Como c, rho e k são constantes, isso é
crho;partial Tpartial t - k,nablacdot(nabla T)=0 ;;Longrightarrow;; crho;partial Tpartial t - k,nabla^2 T=0
Dividindo por crho define-se K=tfrackcrho e obtém-se a equação de difusão do calor
partial Tpartial t=K,nabla^2 T

Resposta

(a) partial ppartial t+nablacdot(p, v)=0
(b) partial Tpartial t=K,nabla^2 T, com K=tfrackcrho

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