(4 pontos) Seja
um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região
no espaço e seja
uma função escalar continuamente diferenciável. A variável
representa o domínio do tempo. A lei de conservação da massa afirma que
onde
é a superfície que engloba
.
a) Use o teorema da divergência para mostrar que a lei da conservação da massa é equivalente à equação de continuidade
b) Seja
uma função de classe
que dá a temperatura no instante
no ponto (
) de um sólido que ocupa uma região
no espaço. Se o vetor de fluxo de energia é
(aqui
é chamada condutividade térmica), considerando a lei da conservação da massa com
e a energia calorífica por unidade de volume
, deduza a equação de difusão de calor
onde
é a constante de difusão.
a) Use o teorema da divergência para mostrar que a lei da conservação da massa é equivalente à equação de continuidade
Passo 1
O enunciado trata de duas leis de conservação em uma região fixa
. Na parte (a) temos a conservação de massa para uma densidade
e um campo de velocidades
, dados pela fórmula
Para transformar essa lei numa equação diferencial local, vamos usar a propriedade de trocar derivada e integral (porque
é fixo) e o Teorema da Divergência.
Na parte (b) aplicamos a mesma forma geral de conservação, mas agora para a energia térmica: a densidade de energia por volume é e o fluxo de energia é
. Substituindo esses dados na equação de continuidade, obtemos a equação de difusão do calor.
Na parte (b) aplicamos a mesma forma geral de conservação, mas agora para a energia térmica: a densidade de energia por volume é
Passo 2
Começamos com
pois
é fixo e
é
. A lei de conservação diz que isso vale
Pelo Teorema da Divergência,
Logo
Como
é arbitrária e a integranda é contínua, o integrando deve anular-se em cada ponto, chegando à equação de continuidade
Passo 3
Para deduzir a equação do calor, tomamos a lei de conservação geral com
Na forma local de continuidade temos
Como
,
e
são constantes, isso é
Dividindo por
define-se
e obtém-se a equação de difusão do calor
Resposta
(a)
(b) com
(b)