Resolva apenas um dos seguintes PVIs:
lx y^prime+y=3 x^5, y(1)=2

Passo 1

O enunciado trata do PVI
x,y'+y=3x^5, y(1)=2,
que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver iremos escrever no formato padrão, encontrar o fator integrante e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x (supondo xneq0):
y' + 1x,y = 3x^4
Aqui p(x)=tfrac1x e q(x)=3x^4.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral 1x,dxr) = exp(ln x) = x

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=x:
x,y' + y = 3x^5
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x,y, pois
ddxl(x,yr) = x,y' + y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral 3x^5,dx = 3x^66 + C = x^62 + C

Passo 6

Isolamos y:
y = x^6/2 + Cx = x^52 + Cx

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 1^52 + C1 Longrightarrow 2 = tfrac12 + C Longrightarrow C = tfrac32

Resposta

y(x) = x^52 + 32x

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