Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
h(x)=log 2 x

Passo 1

O enunciado pede domínio, imagem e esboço do gráfico da função
h(x)=log2x
O conteúdo é logaritmo de base maior que 1. Vamos usar que o logaritmando deve ser positivo e as propriedades de continuidade e crescimento dessa função.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que o logaritmo só está definido se o argumento for positivo, isto é, precisamos de
x>0
Logo, o domínio é (0,infty).

Passo 3

Para determinar a imagem, observamos que conforme xto0^+ temos log2xto-infty e conforme xto+infty temos log2xto+infty. Sendo contínua e sem restrições além de x>0, a imagem é (-infty,infty).

Passo 4

Vamos identificar os pontos e assíntotas que nos permitem esboçar o gráfico:
bul<=t Há uma assíntota vertical em x=0 pois log2xto-infty quando xto0^+.
bul<=t A curva intercepta o eixo x em h(1)=log21=0, ou seja, passa por (1,0).
bul<=t Passa por (2,1) porque log22=1 e por l(tfrac12,-1r) porque log2tfrac12=-1.
bul<=t Como a base é maior que 1, a curva é crescente e tem concavidade voltada para baixo.

Passo 5

Unindo tudo, o esboço é uma curva que vem de -infty muito à esquerda perto de x=0^+, cruza (tfrac12,-1), sobe em (1,0), passa em (2,1) e continua subindo lentamente sem limite, sempre à direita de x=0.

Resposta

Domínio: (0,infty)
Imagem: (-infty,infty)
Gráfico: curva crescente com assíntota vertical em x=0, intercepto em (1,0), passa por (2,1) e l(tfrac12,-1r) e cresce sem limite.

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