Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede domínio, imagem e esboço do gráfico da função
O conteúdo é logaritmo de base maior que
. Vamos usar que o logaritmando deve ser positivo e as propriedades de continuidade e crescimento dessa função.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que o logaritmo só está definido se o argumento for positivo, isto é, precisamos de
Logo, o domínio é
.
Passo 3
Para determinar a imagem, observamos que conforme
temos
e conforme
temos
. Sendo contínua e sem restrições além de
, a imagem é
.
Passo 4
Vamos identificar os pontos e assíntotas que nos permitem esboçar o gráfico:
Há uma assíntota vertical em
pois
quando
.
A curva intercepta o eixo
em
, ou seja, passa por
.
Passa por
porque
e por
porque
.
Como a base é maior que
, a curva é crescente e tem concavidade voltada para baixo.
Passo 5
Unindo tudo, o esboço é uma curva que vem de
muito à esquerda perto de
, cruza
, sobe em
, passa em
e continua subindo lentamente sem limite, sempre à direita de
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva crescente com assíntota vertical em , intercepto em
, passa por
e
e cresce sem limite.
Imagem:
Gráfico: curva crescente com assíntota vertical em