(3 pontos) Sejam B=b1, b2 e C=c1, c2 duas bases para R^2, então:
  1. encontre a matriz transformação de vetores de C para B;
  2. encontre as coordenadas de [x]C=[l1 5] na base B;
  3. encontre as coordenadas de x na base canônica.
b1=[r 1 -3 ] ; b2=[r 1 -4 ] ; c1=[l 5 5 ] ; c2=[r 2 -5 ]

Resposta

Temos:
  • PB C=[rr25 & 3 -20 & -1]
  • [x]B=[r40 -25]
  • x=[r15 -20]

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2,
B=boldsymbol b1,boldsymbol b2, C=boldsymbol c1,boldsymbol c2,
onde
boldsymbol b1=1-3, boldsymbol b2=1-4, boldsymbol c1=55, boldsymbol c2=2-5
Precisamos (1) montar a matriz de passagem de C para B, (2) usar essa matriz para obter [boldsymbol x]B sabendo [boldsymbol x]C=(1,5)^T e (3) encontrar boldsymbol x em coordenadas canônicas. Para isso vamos expressar cada boldsymbol cj como combinação de boldsymbol b1,boldsymbol b2.

Passo 2

Para achar a coluna
No caso de isso dá o sistema
cuja solução é . Logo . Para temos
com solução , isto é . Assim

Passo 3

Agora [boldsymbol x]B = PB C,[boldsymbol x]C. Como [boldsymbol x]C=(1,5)^T,
[boldsymbol x]B =25 & 3-20 & -1 15 =25+15-20-5 =40-25

Passo 4

Finalmente, para obter boldsymbol x em coordenadas canônicas usamos
boldsymbol x = 40,boldsymbol b1 + (-25),boldsymbol b2. Logo
boldsymbol x =401-3-251-4 =40-120 -25-100 =15-20

Resposta

PB C=25 & 3-20 & -1
[boldsymbol x]B=40-25
boldsymbol x=15-20

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